浙江省台州市九校联盟2021-2022学年高一下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-04-29 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设 $z = 3 - 2 i$ ，则在复平面内 $z$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知直线 $a$ ， $b$ 平面 $α$ ， $β$ ，且 $a \subset α$ ， $b \subset β$ ， $α / / β$ ，则下列结论一定成立的是（）

A、 $a$ ， $b$ 是异面直线 B、 $a / / b$ C、 $α$ 内所有直线与 $b$ 平行 D、 $a$ ， $b$ 没有公共点

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3. 设 $△ A B C$ 的内角A， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $A ： B ： C = 1 ： 1 ： 4$ ，则 $a ： b ： c$ 等于（）

A、 $1 ： 1 ： \sqrt{3}$ B、 $2 ： 2 ： \sqrt{3}$ C、 $1 ： 1 ： 2$ D、 $1 ： 1 ： 4$

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4. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， 3)$ ，且 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - λ \vec{b})$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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5. 如图， $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 是斜二测画法画出的水平放置的 $△ A B C$ 的直观图， $D^{'}$ 是 $B^{^{'}} C^{^{'}}$ 的中点，且 $A^{'} D^{'} ∥ y^{'}$ 轴， $B^{'} C^{'} ∥ x^{'}$ 轴， $A^{'} D^{'} = 2$ ， $B^{'} C^{'} = 2$ ，那么（）

A、 $A D$ 的长度大于 $A C$ 的长度 B、 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的面积为2 C、 $△ A B C$ 的面积为4 D、 $∠ A B C = \frac{π}{4}$

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6. 在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $∠ D A B = 6 0^{∘}$ ， $\vec{A E} = \frac{1}{4} \vec{A C} + \frac{3}{4} \vec{A B}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A E}$ 的值是（）

A、18 B、20 C、22 D、24

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7. 已知点 $A (- 1 ， 1)$ ， $B (1 ， 2)$ ， $C (- 2 ， - 1)$ ， $D (3 ， 4)$ 则向量 $\vec{A B}$ 在 $\vec{C D}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $(\frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{3}{2} ， \frac{3}{2})$ C、 $(\frac{5}{2} ， \frac{5}{2})$ D、 $(- \frac{1}{2} ， - \frac{1}{2})$

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8. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为棱 $A B$ 的一个三等分点（靠近 $B$ 点）， $F ， G$ 分别为棱 $B C$ ， $C C_{1}$ 的中点，过 $E ， F ， G$ 三点作正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的截面，则下列说法正确的是（）

A、所得截面是六边形 B、截面过棱 $D_{1} C_{1}$ 的中点 C、截面不经过点 $A_{1}$ D、截面与线段 $B_{1} D_{1}$ 相交，且交点是线段 $B_{1} D_{1}$ 的一个五等分点

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二、多选题

9. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $\vec{a} = (1 ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， 0)$ ， $〈 \vec{c} - \vec{a} ， \vec{c} - \vec{b} 〉 = \frac{π}{2}$ 则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ B、向量 $\vec{a}$ 是单位向量 C、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 可以作为直角坐标平面的一组基底 D、 $| \vec{c} |$ 可以取到2

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10. 设 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $a = \sqrt{10}$ ， $b = 2$ ， $c = 3$ ，则 $\vec{B A} \cdot \vec{A C} = \frac{3}{2}$ B、若 $A > B$ ，则 $s i n A > s i n B$ C、若 $a = 10$ ， $c = 8$ ， $C = \frac{π}{3}$ 则符合条件的 $△ A B C$ 有两个 D、若 $a c o s A = b c o s B$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形或直角三角形

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11. 如图是底面半径为2的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕顶点 $S$ 逆时针滚动，当这个圆锥转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则下列结论正确的是（）

A、圆锥的母线长为12 B、圆锥的侧面积为 $12 π$ C、圆锥的侧面展开图扇形圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ D、圆锥的体积为 $16 \sqrt{2} π$

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12. 已知复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 满足 $| z_{1} - 4 i | = | z_{1} - 5 i |$ ， $| z_{2} - 1 + 2 i | = 2$ （ $i$ 为虚数单位），则下列结论正确的是（）

A、 $| z_{1} | > | z_{2} |$ B、 $| \frac{\bar{z_{1}}}{z_{1}} | = 1$ C、 $| z_{2} - \bar{z_{1}} |$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ D、 $| z_{2} - z_{1} |$ 的最小值为4

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三、填空题

13. 若 $i$ 为虚数单位，则复数 $z = \frac{2 + i}{1 + i}$ 的虚部为．

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14. 设 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．若 $b^{2} = a c$ ， $a + c = 4$ ， $\vec{B A} \cdot \vec{B C} = 3$ ，则 $c o s B =$ ．

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15. 长方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中， $A B = 4 ， B C = 3 ， B B^{'} = 5$ ，一只蚂蚁从点 $A$ 出发沿表面爬行到点 $C^{'}$ ，蚂蚁爬行的最短路线的长为.

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16. 在直角坐标平面内， $A (- 2 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ ，若对任意实数 $t \in R$ ，点 $P$ 都满足 $| \frac{1}{3} \vec{A P} - t \vec{A B} | \geq 1$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 设 $i$ 是虚数单位，复数 $z$ 满足 $z = (1 + 2 i)^{2} + | 3 + 4 i |$ ．

(1)、求复数 $\bar{z}$ ；

(2)、若复数 $a z + 1$ 为纯虚数，求实数 $a$ 的值．

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18. 设 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．向量 $\vec{m} = (a ， \sqrt{3} b)$ 与 $\vec{n} = (c o s A ， s i n B)$ 平行．

(1)、若 $b = 6$ ， $a = 2 \sqrt{13}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $4 s i n B - 2 s i n C = \sqrt{6}$ ，求角 $C$ 的大小．

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19. 设 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．已知 $s i n^{2} A - s i n^{2} B = s i n C (s i n C - s i n B)$ ．

(1)、求角 $A$ 的值；

(2)、若 $c = 2$ ， $b = 5$ ． $A B$ ， $A C$ 边上的两条中线 $C M$ ， $B N$ 相交于点 $P$ ，求 $c o s ∠ M P N$ ．

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20. 鳖臑是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．如图，三棱锥 $A - B C D$ 是一鳖臑，其中 $A B ⊥ B C$ ， $A B ⊥ B D$ ， $B C ⊥ C D$ ， $A C ⊥ C D$ ，且高 $A B = 3 \sqrt{2}$ ， $B C = \sqrt{2} C D = \sqrt{6}$ ．

(1)、求三棱锥 $A - B C D$ 的体积和表面积；

(2)、求三棱锥 $A - B C D$ 外接球体积和内切球的半径．

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21. 在直角梯形 $A B C D$ 中，已知 $A B ∥ D C$ ， $A D ⊥ A B$ ， $C D = 1$ ， $A D = 2$ ， $A B = 3$ ，动点 $E$ 、 $F$ 分别在线段 $B C$ 和 $D C$ 上， $A E$ 和 $B D$ 交于点 $M$ ，且 $\vec{B E} = λ \vec{B C}$ ， $\vec{D F} = (1 - λ) \vec{D C}$ ， $λ \in R$ ．

(1)、当 $\vec{A E} \cdot \vec{B C} = 0$ 时，求 $λ$ 的值；

(2)、当 $λ = \frac{2}{3}$ 时，求 $\frac{D M}{M B}$ 的值；

(3)、求 $| \vec{A F} + \frac{1}{2} \vec{A E} |$ 的取值范围．

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