江苏省扬州市邗江区2021-2022学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-04-29 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知复数z满足 $z (4 + 3 i) = 5 i$ ，则 $| z | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、5

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2. 设 ${\vec{e}}_{1}$ ， ${\vec{e}}_{2}$ 是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（）

A、 ${\vec{e}}_{1} + {\vec{e}}_{2}$ 和 ${\vec{e}}_{1} - 3 {\vec{e}}_{2}$ B、 ${\vec{e}}_{1} + 6 {\vec{e}}_{2}$ 和 ${\vec{e}}_{1} + {\vec{e}}_{2}$ C、 $3 {\vec{e}}_{1} - 4 {\vec{e}}_{2}$ 和 $6 {\vec{e}}_{1} - 8 {\vec{e}}_{2}$ D、 ${\vec{e}}_{1} + 2 {\vec{e}}_{2}$ 和 $2 {\vec{e}}_{1} - {\vec{e}}_{2}$

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3. $c o s 2 8^{∘} c o s 1 7^{∘} - s i n 2 8^{∘} c o s 7 3^{∘}$ =（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

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4. 欧拉是 $18$ 世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献．由《物理世界》发起的一项调查表明，人们把欧拉恒等式“ $e^{i π} + 1 = 0$ ”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”．其中，欧拉恒等式是欧拉公式： $e^{i θ} = c o s θ + i s i n θ$ 的一种特殊情况．根据欧拉公式，若复数z满足 $(e^{2022 π i} + i) \cdot z = 2 i$ ，则z的虚部是（）

A、1 B、-1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $- \sqrt{2}$

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5. 函数 $f (x) = 4^{x} - (x + 1)^{2}$ 的零点个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 已知 $s i n (α + \frac{π}{6}) = \frac{1}{4}$ ，则 $s i n (2 α - \frac{π}{6})$ 的值是（）

A、 $\frac{7}{8}$ B、 $- \frac{7}{8}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $- \frac{1}{8}$

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7. 已知 $△ A B C$ 中， $A = 12 0^{∘}$ ， $A B = 3 ， A C = 4 ， \overset{⇀}{C M} = 4 \overset{⇀}{M B}$ ， $\vec{A N} = \vec{N B}$ ，则 $\overset{⇀}{A C} \cdot \overset{⇀}{M N} =$ （）

A、 $- \frac{12}{5}$ B、 $- \frac{7}{5}$ C、 $- \frac{2}{5}$ D、 $- \frac{1}{5}$

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8. 在平面四边形ABCD中， $A B ⊥ A C ， A C = \sqrt{2} A B$ ， AD=3，BD= $2 \sqrt{6} ，$ 则CD的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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二、多选题

9. 设 $z$ 为复数，则下列命题中正确的是（）

A、 $z^{2} = | z |^{2}$ B、 $| z |^{2} = z \cdot \bar{z}$ C、若 $z$ 满足 $z^{2} < 0$ ，则 $z$ 是纯虚数 D、若复数 $z_{1} ， z_{2}$ ，则 $| z_{1} \cdot z_{2} | = | z_{1} | \cdot | z_{2} |$

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10. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且 $| \vec{a} | = 4 ， | \vec{b} | = 3$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $(2 \vec{a} + \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} - 3 \vec{b}) = 13$ B、 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | = 2 \sqrt{19}$ C、在 $△ A B C$ 中，若 $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{C A} = \vec{b}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} = - 10$ D、若 $(\vec{a} + λ \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则实数 $λ = - \frac{10}{3}$

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11. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a c o s A = b c o s B$ ，则 $△ A B C$ 一定是等腰三角形 B、若 $s i n B > s i n C$ ，则 $B > C$ C、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $s i n A > c o s B$ D、若 $\vec{A C} \cdot \vec{A B} > 0$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 - {(\frac{1}{2})}^{x} ， x \leq 0 \\ | l o g_{2} x | ， x > 0 \end{array}$ ，方程 $f^{2} (x) + 2 f (x) - m = 0 (m > 0)$ 有四个不同的实数根，从小到大依次是 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4} ，$ 则下列说法正确的有（）

A、 $x_{1} < - 3$ B、 $x_{1} + x_{2} < - 2$ C、 $x_{3} x_{4} = 2$ D、 $m$ 可以取到3

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三、填空题

13. 已知复数 $z$ 满足 $| z - 1 | = 1$ ，则 $| z + 1 - 2 i |$ 的最大值为.

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14. 已知点O（0，0），M（20，22），将向量 $\vec{O M}$ 按顺时针方向旋转 $9 0^{∘}$ 后得到向量 $\vec{O N}$ ，则点N的坐标为．

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15. 已知 $s i n (α + 2 β) = \frac{4 \sqrt{3}}{7}$ ， $c o s (2 α + β) = - \frac{11}{14}$ ， $α \in (\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ ， $β \in (- \frac{π}{4} ， 0)$ ，则 $α - β =$ ．

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16. 已知圆O是四边形 $A B C D$ 的外接圆， $A B = C D = 10$ ， $A D = 6$ ， $∠ B A D = 12 0^{∘}$ ，则圆O的半径为；四边形 $A B C D$ 的面积为．

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四、解答题

17. 已知向量 $\vec{a} = \vec{e_{1}} + 4 \vec{e_{2}} ， \vec{b} = 2 \vec{e_{1}} - 3 \vec{e_{2}}$ ，其中 $\vec{e_{1}} = (1 ， 0) ， \vec{e_{2}} = (0 ， 1)$

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ， $| \vec{a} + \vec{b} |$ ；

(2)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角的余弦值.

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18. 设复数 $z_{1} = c o s θ + i s i n θ$ ， $z_{2} = 1 + i$ ，其中 $θ \in [0 ， π]$ .

(1)、若复数 $z = z_{1} \cdot z_{2}$ 为实数，求 $θ$ 的值；

(2)、求 $| z_{2} + \bar{z_{1}} |$ 的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + (t + 1) x + t$

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $f (x)$ 的零点个数；

(2)、已知 $a \leq 1$ ， $t = - 5$ ，若方程 $f (x) - l o g_{2} x + 10 = 0$ 在区间[1，2]内有且只有一个解，求实数 $a$ 的取值范围．

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20. 已知正六边形 $A B C D E F$ 的边长为1，

(1)、当点 $M$ 满足时， $\vec{B F} \cdot \vec{B M} = \frac{3}{2}$ ．
（注：无需写过程，填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）

(2)、若点 $N$ 为线段 $A E$ （含端点）上的动点，且满足 $\vec{D N} = m \vec{D C} + n \vec{D E} (m \in R ， n \in R)$ ，求 $m + n$ 的取值范围；

(3)、若点H是正六边形 $A B C D E F$ 内或其边界上的一点，求 $\vec{A H} \cdot \vec{A B}$ 的取值范围.

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21. 从① $\frac{2 b s i n A}{c o s C} = \frac{a}{c o s A} + \frac{c}{c o s C}$ ， ② $\frac{c}{a c o s B} = t a n A + t a n B$ ，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答.
问题：设 $△ A B C$ 内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且____.

(1)、求A；

(2)、若 $\frac{s i n B}{s i n C} = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ， $B C$ 边的中线 $A M = \sqrt{17}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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22. 已知O为坐标原点，对于函数 $f (x) = a s i n x + b c o s x$ ，称向量 $\vec{O M} = (a ， b)$ 为函数 $f (x)$ 的伴随向量，同时称函数 $f (x)$ 为向量 $\vec{O M}$ 的伴随函数.

(1)、若函数 $g (x) = s i n x + 2 c o s (x + \frac{π}{3})$ ，求函数 $g (x)$ 的伴随向量；

(2)、若函数 $f (x)$ 的伴随向量为 $(1 ， 1)$ ，且函数 $f (x)$ 在 $（ 0 ， x_{1} ）$ 上有且只有一个零点，求 $x_{1}$ 的最大值；

(3)、若函数 $f (x)$ 的伴随向量为 $(\sqrt{3} ， 1)$ ， $h (x) = f (x) + 1$ ，若实数 $m$ ， $n$ ， $p$ 使得 $m h (x) + n h (x - p) = 1$ 对任意实数 $x$ 恒成立，求 $\frac{c o s p}{m + n}$ 的值．

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