江苏省宿迁市泗阳县2021-2022学年高一下学期数学期中调研试卷

试卷更新日期：2022-04-29 类型：期中考试

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一、单选题

1. $c o s (α - β) c o s α + s i n (α - β) s i n α$ 等于（）

A、 $s i n (2 α - β)$ B、 $c o s (2 α - β)$ C、 $c o s β$ D、 $- c o s β$

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2. 已知向 $\vec{a} = (2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (4 ， - 3)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 垂直，则实数 $λ$ 的值为（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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3. 在 $△ A B C$ 中，已知 $A = 75 °$ ， $B = 45 °$ ， $A C = 4$ ，则 $A B$ 的长为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、2 C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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4. 将指数函数的定义域扩大到复数以后，有一个公式： $e^{i x} = c o s x + i s i n x$ ， i是虚数单位，e为自然对数的底数.它建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，此公式被誉为“数学中的天桥”.根据公式可知， $e^{\frac{2 π}{3} i}$ 表示的复数对应的点位于复平面中的（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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5. 已知 $s i n (\frac{π}{4} - α) = \frac{3}{5}$ ，则 $s i n 2 α$ 的值为（）

A、 $\frac{24}{25}$ B、 $\frac{7}{25}$ C、 $- \frac{7}{25}$ D、 $- \frac{24}{25}$

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $\vec{A D} = λ \vec{D C}$ ， $E$ 是 $B D$ 上一点，若 $\vec{A E} = \frac{11}{16} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ ，则实数 $λ$ 的值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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7. $\frac{2 s i n 70 ° - s i n 10 °}{s i n 100 °}$ 的值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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8. 已知图中的圆 $A$ ，圆 $D$ 的半径均为2， $△ A B E$ ， $△ B E C$ ， $△ E C D$ 均是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的等边三角形.设点 $P$ 为圆 $D$ 上的一点，则 $\vec{B D} \cdot \vec{A P}$ 的最小值为（）

A、22 B、24 C、-26 D、-48

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二、多选题

9. 已知平面向量 $\vec{a} = (0 ， 1)$ ， $\vec{b} = (3 \sqrt{3} ， 2)$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $| \vec{a} + \vec{b} | = 36$ B、 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = - 30$ C、向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $3 \vec{a}$ D、向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$

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10. 设 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ， $z_{3}$ 为复数， $z_{1} \neq 0$ .下列命题正确的有（）

A、若 $z_{1} z_{2} = z_{1} z_{3}$ ，则 $z_{2} = z_{3}$ B、若 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} > 0$ ，则 $z_{1}^{2} > - z_{2}^{2}$ C、 $| z_{1} + z_{2} | \leq | z_{1} | + | z_{2} |$ D、若 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = 0$ ，则 $z_{1} = 0$ 且 $z_{2} = 0$

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11. 下列说法正确的有（）

A、 $\exists x_{0} \in R$ ， $\sqrt{3} s i n x_{0} + c o s x_{0} = 3$ B、不存在无穷多个 $α$ 和 $β$ 的值，使得 $c o s (α + β) = c o s α c o s β + s i n α s i n β$ C、存在这样的 $α$ 和 $β$ 的值，使得 $c o s (α + β) = c o s α c o s β + s i n α s i n β$ D、当 $f (x) = 2 s i n x + c o s x$ 取最大值时， $c o s x = \frac{\sqrt{5}}{5}$

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12. △ $A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对应的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则下列说法正确的有（）

A、若 $A > B$ ，则 $s i n A > s i n B$ B、若 $t a n A + t a n B + t a n C > 0$ ，则△ $A B C$ 可以是钝角三角形 C、若 $A = 30 °$ ， $b = 4$ ， $a = 3$ ，则△ $A B C$ 有两解 D、若 $(\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |}) \cdot \vec{B C} = 0$ 且 $\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} \cdot \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |} = \frac{1}{2}$ ，则△ $A B C$ 是等边三角形

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三、填空题

13. 已知复数 $z = 2 + i$ ，则复数 $z^{2} - 1$ 的模为.

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14. 设向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 不平行，向量 $t \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 3 \vec{b}$ 平行，则实数 $t$ 的值为.

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15. 在 $△ A B C$ 中，面积 $S_{△ A B C} = \frac{3 \sqrt{7}}{2}$ ， $A C = 4$ ， $B C = 3$ ，则 $A B$ 的长为.

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16. 在 $△ A B C$ 中，若 $s i n^{2} B + 2 s i n^{2} A - s i n^{2} C = 0$ ，则 $\frac{c o s B t a n C}{s i n B}$ 的值为， $t a n A$ 的最大值为.

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四、解答题

17. 已知 $\frac{1 - 2 i}{z}$ 为实数.

(1)、若复数 $z$ 的实部为2，求 $\bar{z}$ ；

(2)、若复数 $z$ 的模为5，且在复平面内复数 $z$ 对应的点在虚轴的左侧，求 $z$ .

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18. 已知 $\vec{a} = (2 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (3 ， 2)$ ， $O$ 为坐标原点.

(1)、若 $\vec{c} = (5 ， t)$ ， $(2 \vec{a} + \vec{c}) ∥ \vec{b}$ ，求实数 $t$ 的值；

(2)、若 $m \vec{a} + \vec{b}$ 与 $- \vec{a} + \vec{b}$ 的夹角为锐角，求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 在斜三角形△ $A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边， $2 a^{2} c o s B = (a^{2} + c^{2} - b^{2}) (c o s B - s i n B)$ .

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若点 $D$ 为 $A C$ 的中点， $s i n A = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $c = 2 \sqrt{10}$ ，求 $B D$ 的长.

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20. 求值：

(1)、若 $α \in (0 ， π)$ ， $c o s α = \frac{4}{5}$ ，求 $t a n (\frac{π}{4} + \frac{α}{2})$ 的值；

(2)、设 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $β \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，且 $t a n α c o s β = 1 + s i n β$ ，求 $2 α - β$ 的值.

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21. 问题：在锐角△ $A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且____.
在① $a c o s C - (2 b - c) c o s A = 0$ ，
② $4 S_{△ A B C} = \sqrt{3} (b^{2} + c^{2} - a^{2})$ ，
③ $\sqrt{3} a s i n B + b c o s A - 2 b = 0$ 中任选一个，补充在横线上，并作答：

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 3 \sqrt{3}$ ，求 $b + c$ 的取值范围.

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22. 如图，风景区的形状是如图所示的扇形 $O A B$ 区域，其半径为 $4$ 千米，圆心角为 $6 0^{∘}$ ，点 $C$ 在弧 $A B$ 上.现在风景区中规划三条商业街道 $D E$ 、 $C D$ 、 $C E$ ，要求街道 $D C$ 与 $O A$ 平行，交 $O B$ 于点 $D$ ，街道 $D E$ 与 $O A$ 垂直（垂足 $E$ 在 $O A$ 上）.

(1)、如果弧 $B C$ 的长为弧 $C A$ 长的三分之一，求三条商业街道围成的 $△ C D E$ 的面积；

(2)、试求街道 $C E$ 长度的最小值.

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