江苏省常州市2021-2022学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-04-29 类型：期中考试

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一、单选题

1. $s i n 300 °$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 复数 $\frac{2 i}{1 - i}$ （其中i为虚数单位）在复平面中对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知扇形的周长为30cm，圆心角为3rad，则此扇形的弧长为（）

A、6cm B、12cm C、18cm D、24cm

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4. 已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $A = \frac{π}{3}$ ， $c o s B = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$ ， $b = 3$ ，则 $a =$ （）

A、 $\frac{3}{2} \sqrt{7}$ B、 $\frac{6}{7} \sqrt{7}$ C、 $\frac{\sqrt{21}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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5. 已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $c s i n A = \sqrt{3} a c o s C$ ， $c = 3 \sqrt{3}$ ， $a b = 18$ ，则 $a + b$ 的值是（）

A、 $6 \sqrt{2}$ B、 $6 \sqrt{3}$ C、9 D、11

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6. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = \sqrt{2}$ ， $| \vec{b} | = 1$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $45 °$ ， $(λ \vec{b} - \vec{a}) ⊥ \vec{a}$ ，则实数 $λ$ 的值为（）

A、-2 B、2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 已知 $t a n α = 3$ ，则 $\frac{c o s^{3} α - c o s α}{c o s (α + \frac{π}{2})}$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{10}$ B、 $- \frac{3}{10}$ C、 $\frac{10}{3}$ D、 $- \frac{10}{3}$

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8. 在△ABC中，若 $t a n A + t a n B + \sqrt{2} t a n A \cdot t a n B = \sqrt{2}$ ，则 $t a n 2 C =$ （）

A、 $- \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $- 2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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二、多选题

9. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 不共线， $\vec{A B} = 2 \vec{a} + λ \vec{b}$ ， $\vec{A C} = (λ - 1) \vec{a} + \vec{b}$ ，若 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点共线，则实数 $λ$ 的可能取值有（）

A、1 B、-1 C、2 D、-2

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10. 关于复数 $z = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ （i为虚数单位），下列说法正确的有（）

A、 $| z | = 1$ B、 ${(z + 1)}^{3} = 1$ C、 $z^{2} = \bar{z}$ D、 $1 + z + z^{2} = 0$

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11. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n 2 x - 2 c o s^{2} x$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的值域是 $[- 3 ， 1]$ C、 $f (x)$ 在 $[\frac{5 π}{6} ， \frac{4 π}{3}]$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{12} ， - 1)$ 对称

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12. 已知 $f (x) = c o s (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ ， $f (\frac{π}{6}) = f (\frac{π}{3})$ ，且 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{3})$ 内有最大值，无最小值，则 $ω$ 可能的取值有（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{14}{3}$ C、 $\frac{26}{3}$ D、 $\frac{50}{3}$

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三、填空题

13. 已知等边三角形ABC的边长为6，若 $\vec{C M} = - 2 \vec{B M}$ ，则 $\vec{A M} \cdot \vec{B C} =$ ．

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14. 已知 $s i n (α + \frac{π}{4}) = \frac{5}{13}$ ，其中 $α \in (\frac{π}{2} ， π)$ ，则 $c o s α$ 的值为．

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15. 如图所示，一个半径为4米的筒车绕其轴心O按逆时针方向匀速转动，每旋转1周恰需要30秒，轴心O距水面的高度为2米．设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d(单位：米，W在水面下时d为负数)．将盛水筒W上浮到水面的一点设为起始位置，则d与时间t(单位：秒)之间的关系为 $d = A s i n (ω t + φ) + K (A > 0$ ， $ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2}$ )，确定 $A$ 、ω、φ、K的值，则 $d =$ ．

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16. 在平面直角坐标系xOy中，先将线段OP绕原点O按逆时针方向旋转角 $θ$ ，再将旋转后的线段OP的长度变为原来的 $ρ (ρ > 0)$ 倍得到 $O P_{1}$ ，我们把这个过程称为对点P进行一次 $T (θ ， ρ)$ 变换得到点 $P_{1}$ ，例如对点 $(1 ， 0)$ 进行一次 $T (\frac{π}{2} ， 3)$ 变换得到点 $(0 ， 3)$ ．若对点 $A (1 ， 0)$ 进行一次 $T (\frac{2 π}{3} ， 2)$ 变换得到点 $A_{1}$ ，则 $A_{1}$ 的坐标为；若对点 $B (\frac{4}{5} ， \frac{3}{5})$ 进行一次 $T (θ ， ρ)$ 变换得到点 $B_{1} (- 3 ， - 4)$ ，对点 $B_{1}$ 再进行一次 $T (θ ， ρ)$ 变换得到点 $B_{2}$ ，则 $B_{2}$ 的坐标为．

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四、解答题

17. 已知平面向量 $\vec{a} = (3 ， x)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 2)$ ， $\vec{c} = (- 2 ， 6)$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ．

(1)、求 $| 3 \vec{a} + 2 \vec{b} |$ ；

(2)、若 $(\vec{a} + k \vec{b}) ∥ (\vec{b} + \vec{c})$ ，求实数k的值．

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18. 已知复数z满足方程 $z^{2} - 2 z + 2 = 0$ ，且复数z对应的点A在复平面的实轴上方．

(1)、求z；

(2)、设 $z^{2}$ ， $z - z^{2}$ 在复平面上的对应点分别为B，C，求 $s i n ∠ A B C$ 的值．

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19. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的一段图象如图所示，将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，得到函数 $g (x)$ 的图象．

(1)、求函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的解析式；

(2)、记函数 $F (x) = f (x) + g (x)$ ，求 $F (x)$ 的图象的对称轴方程．

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20. 已知 $△$ ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $s i n B c o s A > s i n C$ ．

(1)、求证：B为钝角；

(2)、若 $△$ ABC同时满足下列4个条件中的3个：① $c o s A = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ；② $s i n C = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ；③ $a = 4$ ；④ $c = 2 \sqrt{2}$ ．试确定这3个条件，并求b的值．

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21. 在平面四边形ABCD中， $A B = 6$ ， $∠ A D C = 90 °$ ， $∠ A = 60 °$ ， $c o s ∠ A B D = - \frac{1}{7}$ ， △BCD的面积为 $39 \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $s i n ∠ A D B$ 的值；

(2)、求边BC的长．

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22. 设D为 $△ A B C$ 边AB上一点，满足 $A D = 1$ ， $D B = 4$ ，记 $∠ A B C = α$ ， $∠ C A B = β$ ．

(1)、若 $C D ⊥ A B$ ， $β = 2 α$ ，求CD的长；

(2)、若 $α + β = θ$ ，其中 $θ$ 为定值，试用 $α$ ， $θ$ 表示 $△ A C D$ 的面积，并求其最大值．

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