湖北省武汉市部分重点中学2021-2022学年高一下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-04-29 类型：期中考试

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一、单选题

1. 平面α与平面β平行的充分条件可以是（）

A、α内有无穷多条直线都与β平行 B、直线a $/ /$ α，a $/ /$ β，且直线a不在α与β内 C、直线 $a \subset α$ ，直线 $b \subset β$ ，且b $/ /$ α，a $/ /$ β D、α内的任何直线都与β平行

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2. 设 $i$ 是虚数单位， $\bar{z}$ 是复数z的共轭复数，若 $z = \frac{(1 + i)^{4}}{3 - 4 i}$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $\frac{16}{25}$ B、 $\frac{16}{25} i$ C、 $- \frac{16}{25}$ D、 $- \frac{16}{25} i$

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3. 紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位： $c m$ ），那么该壶的容积约为（）

A、 $100 c m^{3}$ B、 $200 c m^{3}$ C、 $300 c m^{3}$ D、 $400 c m^{3}$

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4. 已知 $△ A B C$ 的外接圆圆心为O ，且 $2 \overset{⇀}{A O} = \overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{A C} ， | \overset{⇀}{O A} | = | \overset{⇀}{A B} |$ ，则向量 $\overset{⇀}{B A}$ 在向量 $\overset{⇀}{B C}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{4} \overset{⇀}{B C}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4} \overset{⇀}{B C}$ C、 $- \frac{1}{4} \overset{⇀}{B C}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{4} \overset{⇀}{B C}$

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5. 已知圆锥的底面半径为 $R$ ，高为 $3 R$ ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）

A、 $2 π R^{2}$ B、 $\frac{9}{4} π R^{2}$ C、 $\frac{8}{3} π R^{2}$ D、 $π R^{2}$

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6. 点O是 $△ A B C$ 内一点，且满足 $3 \vec{O A} + 4 \vec{O B} + 5 \vec{O C} = \vec{0}$ ．则 $\frac{S_{△ A O B}}{S_{△ A B C}}$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{7}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、 $\frac{1}{3}$

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7. $△ A B C$ 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边， $B = \frac{π}{6}$ ， $b = 3$ ， $a = 4$ ，则 $△ A B C$ 为（）

A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、锐角三角形或钝角三角形 D、直角三角形

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8. 在直角 $△ A B C$ 中，斜边 $B C$ 长为a，若 $△ A B C$ 所在平面内关于点A对称的两点P，Q满足 $| P Q | = 2 a$ ，则 $\vec{B P} \cdot \vec{C Q}$ 的最大值为（）

A、0 B、 $a^{2}$ C、 $2 a^{2}$ D、 $- a^{2}$

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二、多选题

9. 设i为虚数单位，复数 $z = (a + i) (1 + 2 i)$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $z$ 为纯虚数，则实数a的值为2 B、若 $z$ 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是 $(- \frac{1}{2}, 2)$ C、实数 $a = - \frac{1}{2}$ 是 $z = \bar{z}$ （ $\bar{z}$ 为 $z$ 的共轭复数）的充要条件 D、若 $z + | z | = x + 5 i (x \in R)$ ，则实数a的值为2

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10. 如图是一个正方体的侧面展开图，在原立方体中，以下关系判断正确的是（）

A、 $A B / / C D$ B、 $G H$ 与 $C D$ 相交 C、 $E F / / C D$ D、 $A B$ 与 $G H$ 异面

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11. 已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是两个单位向量， $λ \in R$ 时， $| \vec{e_{1}} + λ \vec{e_{2}} |$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 的夹角是 $\frac{π}{3}$ B、 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 的夹角是 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$ C、 $| \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}} | = 1$ 或 $\sqrt{3}$ D、 $| \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}} | = 1$ 或 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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12. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，如图M，N分别是正方形 $A B C D$ ， $B C C_{1} B_{1}$ 的中心．则下列结论正确的是（）

A、平面 $D_{1} M N$ 与棱 $B_{1} C_{1}$ 的交点是 $B_{1} C_{1}$ 的三等分点 B、平面 $D_{1} M N$ 与棱 $B C$ 的交点是 $B C$ 的中点 C、平面 $D_{1} M N$ 与棱 $A D$ 的交点是 $A D$ 的三等分点 D、平面 $D_{1} M N$ 将正方体分成前后两部分的体积比为 $2 ： 1$

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三、填空题

13. 已知 $t a n (\frac{π}{4} + α) = \frac{1}{2} ， α \in R$ ．若向量 $\vec{a} = (2 t a n α ， 1) ， \vec{b} = (1 ， - t a n α) ， \vec{a} \cdot \vec{b} =$ ．

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14. 一般地， $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角可记为 $⟨ \vec{a} ， \vec{b} ⟩$ ，已知 $\vec{O A} ⊥ \vec{O B}$ ， $⟨ \vec{O B} ， \vec{O C} ⟩ = 30 °$ ， $⟨ \vec{O A} ， \vec{O C} ⟩ = 120 °$ ， $| \vec{O A} | = 2$ ， $| \vec{O B} | = \sqrt{3}$ ， $| \vec{O C} | = 1$ ， $\vec{O C} = λ \vec{O A} + μ \vec{O B}$ ，则 $λ + μ =$ ．

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15. 在 $Δ A B C$ 中， $s i n A = \frac{5}{13}$ ， $c o s B = \frac{3}{5}$ ，则 $c o s C$ 的值是.

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16. 圆锥 $P O$ 底面半径与高均为3，过 $P O$ 中点 $O^{'}$ 作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，剩下几何体的体积为，表面积为．

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四、解答题

17. 已知复数 $z_{1} = 1 - i$ ， $z_{2} = m - i ， m \in R$ ， $i$ 为虚数单位．

(1)、若 $z_{1}$ 在复平面内对应向量 $\vec{O Z_{1}}$ ，将 $\vec{O Z_{1}}$ 绕点O顺时针旋转 $60 °$ 得到向量对应的复数为 $z_{3}$ ，求 $| z_{3} | \cdot \bar{z_{3}}$ ；

(2)、若 $z_{2}$ 是关于x的方程 $x^{2} - n x + 10 = 0 (n \in R)$ 的一个根，求实数m与n的值．

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18. $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $c o s 2 A - 3 c o s (B + C) = 1$ ．

(1)、求 $∠ A$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积 $S = 3 \sqrt{3} ， b = 4$ ，求 $s i n B s i n C$ 的值．

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19. 已知 $△ O A B$ 中，点D在线段 $O B$ 上，且 $O D = 3 D B$ ，延长 $B A$ 到C，使 $B A = A C$ ．设 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ．

(1)、用 $\vec{a} ， \vec{b}$ 表示向量 $\vec{O C} ， \vec{D C}$ ；

(2)、若向量 $\vec{O C}$ 与 $\vec{O A} + k \vec{D C}$ 共线，求k的值．

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20. 在① $\frac{c o s B}{c o s C} = - \frac{b}{2 a + c}$ ， ② $\frac{s i n A}{s i n B - s i n C} = \frac{b + c}{a + c}$ ， ③ $2 S = - \sqrt{3} \vec{B A} \cdot \vec{B C}$ 三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．
在 $△ A B C$ 中， $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，角A，B，C的对边分别为a，b，c且选条件：____．

(1)、求 $∠ B$ ；

(2)、作 $A B ⊥ A D$ ，使得四边形 $A B C D$ 满足 $∠ A C D = \frac{π}{4} ， A D = \sqrt{2}$ ，求 $B C$ 的取值范围．

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21. 如图，在五棱锥 $P - A B C D E$ 中， $A B / / E D$ ， $C D / / A E$ ， $A B = \frac{2}{3} E D$ ， $C D = \frac{1}{2} A E$ ， F为棱 $P E$ 上一点，且满足 $P F = \frac{1}{3} P E$ ，平面 $A B F$ 与棱 $P D ， P C$ 分别交于G，H．

(1)、求证： $A B / / F G$ ；

(2)、求 $\frac{P H}{P C}$ 的值．

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22. 正六棱台玻璃容器的两底面棱长分别为 $7 c m$ ， $31 c m$ ，高为 $32 c m$ ，如图水平放置，盛有水深为 $12 c m$ ．

(1)、求玻璃容器的体积；

(2)、将一根长度为 $40 c m$ 的搅棒 $l$ 置入玻璃容器中， $l$ 的一端置于点E处，另一端置于侧棱 $G G_{1}$ 上，求 $l$ 没入水中部分的长度．（容器厚度，搅棒粗细均忽略不计）

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