河南省洛阳市2021-2022学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-04-29 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设 $3 (z + \bar{z}) - 2 (z - \bar{z}) = 6 + 8 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 - 2 i$ B、 $1 + 2 i$ C、 $- \frac{3}{2} + \frac{4}{3} i$ D、 $- \frac{3}{2} - \frac{4}{3} i$

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2. 已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $12 0^{∘}$ ， $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} - 4 \vec{b}) =$ （）

A、5 B、6 C、7 D、8

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3. 已知正方体的棱长为 $\sqrt{3}$ ，则该正方体外接球的体积为（）

A、9π B、 $\frac{27}{4} π$ C、 $\frac{9 π}{2}$ D、 $\frac{27}{8} π$

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4. 若 $△ A B C$ 的面积 $S = 2 B C \cdot s i n B s i n C$ ，则 $△ A B C$ 外接圆的半径 $R$ 为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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5. 已知点 $A (0 ， 2) ， B (1 ， - 1) ， C (- 3 ， 1)$ ，若 $λ \vec{A B} + \vec{B C}$ 与 $\vec{B C}$ 垂直，则 $λ =$ （）

A、-1 B、1 C、-2 D、2

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6. 设 $a ， b ， c$ 为不同的直线， $α ， β ， γ$ 为不同的平面，则下列结论中不正确的有（）
①若 $a ∥ b ， b ∥ c$ ，则 $a ∥ c$ ；②若 $a ∥ α ， b ∥ α$ ，则 $a ∥ b$ ；③若 $a ∥ β ， a \subset α ， α ∩ β = b$ ，则 $a ∥ b$ ；④若 $a ∥ b ， a ∥ α$ ，则 $b ∥ α$ ．

A、②③ B、②④ C、①③ D、②

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7. 下列说法正确的有（）

A、两个底面平行且相似，其余的面都是梯形的多面体是棱台 B、夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 C、利用斜二测画法得平行四边形的直观图可能是梯形 D、存在四个面都是直角三角形的三棱锥

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8. “ $△ A B C$ 为钝角三角形”是“ $s i n^{2} C > s i n^{2} A + s i n^{2} B$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、充要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 如图所示，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，若经过 $D_{1} B$ 的平面分别交 $A A_{1}$ 和 $C C_{1}$ 于点 $E ， F$ ，则四边形 $D_{1} E B F$ 的形状是（）

A、直角梯形 B、菱形 C、平行四边形 D、等腰梯形

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10. 2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为3，则图③中 $\vec{O M} \cdot \vec{O N}$ 的值为（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $6 \sqrt{3}$ C、6 D、 $6 \sqrt{2}$

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11. 如图，已知四面体 $A B C D$ 的侧面 $A B C$ 为等腰三角形， $A B = A C = 2$ ， $∠ B A C = 12 0^{∘}$ ，过点D作截面 $α$ 交侧棱 $A B$ ， $A C$ 于 $M$ ， $N$ 两点，且四棱锥 $D - M N C B$ 的体积为四面体 $A B C D$ 体积的 $\frac{3}{4}$ ，则线段 $M N$ 的长度的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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12. 设向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，定义 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的“向量积”： $\vec{a} \times \vec{b}$ ．可知 $\vec{a} \times \vec{b}$ 是一个向量，它的模为 $| \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | s i n θ$ ．已知在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c ， A = \frac{π}{3}$ ， $| \vec{B A} \times \vec{B C} | = \frac{\sqrt{3}}{6} (8 b^{2} - 9 a^{2})$ ，则 $c o s B =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{14}$ B、 $- \frac{\sqrt{7}}{14}$ C、 $- \frac{\sqrt{7}}{7}$ D、 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$

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二、填空题

13. 已知复数 $z = {(1 + i)}^{3} + i$ ，则复数z的模为．

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14. 已知 $\vec{a} = (1 ， 2) ， \vec{b} = (\frac{1}{x} ， 1)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角，则 $x$ 的取值范围为．

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15. 某圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的扇形，则该圆锥内接正方体的棱长为．

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16. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M ， N ， E$ 分别为棱 $A A_{1} ， A B ， A D$ 的中点，以A为圆心，1为半径，分别在面 $A B B_{1} A_{1}$ 和面 $A B C D$ 内作弧 $M N$ 和 $N E$ ，并将两弧各六等分，分点依次为 $M ， P_{1} ， P_{2}$ ， $P_{3} ， P_{4} ， P_{5} ， N$ 以及 $N ， Q_{1} ， Q_{2} ， Q_{3} ， Q_{4} ， Q_{5} ， E$ ．一只蚂蚁欲从点 $P_{1}$ 出发，沿正方体的表面爬行至 $Q_{5}$ 则其爬行的最短距离为．

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三、解答题

17. 已知复数 $z_{1}$ 是方程 $x^{2} - 2 x + 2 = 0$ 的根，且 $z_{1}$ 的实部大于虚部， $z_{2} = a + i$ ．

(1)、若 $z_{1} z_{2}$ 是纯虚数，求实数a的值；

(2)、若复数 $\frac{z_{2}}{z_{1}}$ 在复平面上对应的点在第三象限，求实数a的取值范围．

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18. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $B D < A D$ ， $c o s (\frac{π}{6} + A) - c o s (\frac{2 π}{3} - 2 A) = 0$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $A B = \sqrt{3} ， A D = 3 ， C D = 1 ， ∠ C = 2 ∠ C B D$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积．

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19. 如图所示，正方形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 是一个水平放置的平面图形 $O A B C$ 的直观图，其中 $O^{'} A^{'} = 2$ ．

(1)、求原图形的面积；

(2)、将原图形以 $O A$ 所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积与体积．（注：图形 $O A B C$ 与正方形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 的各点分别一一对应，如 $O B$ 对应直观图中的 $O^{'} B^{'}$ ）

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20. 如图，正方形 $A B C D$ 为圆柱 $O O^{'}$ 的轴截面， $E F$ 是圆柱上异于 $A D ， B C$ 的母线， $M ， N$ 分别是 $D E ， B F$ 的中点， $A B = 2 ， D F = \sqrt{3}$ ．

(1)、证明： $M N / /$ 平面 $A B E$ ；

(2)、设平面 $B D E$ 与圆 $O^{^{'}}$ 所在平面的交线为 $l$ ，证明： $l / /$ 平面 $B E F$ ．

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21. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且满足 $b (a c o s B + b c o s A) = 2 c (b c o s C + c c o s B)$ ．

(1)、求 $\frac{b}{a}$ 的值；

(2)、已知 $c = \sqrt{3} ， △ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求a的值．

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22. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．而向量正是数与形“沟通的桥梁”．在 $△ A B C$ 中，试解决以下问题：

(1)、G是三角形的重心（三条中线的交点），过点G作一条直线分别交 $A B ， A C$ 于点 $M ， N$ ．
（i）记 $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{A C} = \vec{b}$ ，请用 $\vec{a} ， \vec{b}$ 表示 $\vec{A G}$ ；

（ii） $\vec{A M} = m \vec{A B} ， \vec{A N} = n \vec{A C}$ ，求 $4 m + n$ 的最小值．

(2)、已知点O是 $△ A B C$ 的______________，且 $\vec{A O} = \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ ，求 $c o s ∠ B A C$ ．
请从下面两个条件中选一个填在上述横线上，并完成解答．（注意：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）

①外心（三条垂直平分线的交点）；②垂心（三条高的交点）．

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