浙江省温州环大罗山联盟2021-2022学年高二下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-04-29 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知命题 $p ： \forall x \in R$ ， $l n x - x + 1 < 0$ ，则 $\neg p$ 是（）

A、 $\forall x \notin R$ ， $l n x - x + 1 \geq 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $l n x - x + 1 \geq 0$ C、 $\exists x \notin R$ ， $l n x - x + 1 \geq 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $l n x - x + 1 \geq 0$

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2. 如图中有5组数据，去掉1组数据后，剩下的4组数据的线性相关性最大，则去掉的数据是（）

A、E B、C C、A D、D

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3. 设x，y都是实数，则“ $x > 2$ 且 $y > 3$ ”是“ $x > 2$ 或 $y > 3$ ”的（）条件

A、充分非必要 B、必要非充分 C、充要 D、既非充分也非必要

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4. 一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中任取5件，则恰有1件不合格品的概率是（）

A、 $\frac{C_{3}^{1} C_{97}^{4}}{C_{100}^{5}}$ B、 $\frac{C_{3}^{1}}{C_{100}^{5}}$ C、 $1 - \frac{C_{3}^{1} C_{97}^{4}}{C_{100}^{5}}$ D、 $1 - \frac{C_{3}^{1}}{C_{100}^{5}}$

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5. 若随机事件A，B满足 $P (A) = \frac{1}{3}$ ， $P (B) = \frac{1}{2}$ ， $P (A ∪ B) = \frac{3}{4}$ ，则 $P (A | B) =$ （）

A、 $\frac{2}{9}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{6}$

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6. 已知函数图象如图所示，则函数 $y = f (x)$ 的解析式可能是（）

A、 $f (x) = l n x - x + \frac{1}{x}$ B、 $f (x) = l n | x | - x + \frac{1}{| x |}$ C、 $f (x) = l n | x | - x + \frac{1}{x}$ D、 $f (x) = l n | x | - | x | + \frac{1}{| x |}$

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7. 为有效阻断新冠肺炎疫情传播途径，构筑好免疫屏障，从2022年1月13日开始，某地启动新冠病毒疫苗加强针接种工作，凡符合接种第三针条件的市民，要求尽快接种．该地现有5名医生和3名保安将被派往3个医院协助新冠疫苗接种工作，每个医院至少增加1名医生和1名保安，则不同的安排方法共有（）

A、1440种 B、900种 C、246种 D、156种

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8. 已知正数a，b和实数t满足 $a^{2} + t a b + b^{2} = 1$ ，若 $a + b$ 存在最大值，则 $t$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 2]$ B、 $(- 2 ， + \infty)$ C、 $(- 2 ， 2]$ D、 $[2 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 已知实数x，y满足 $1 < x < 6$ ， $2 < y < 3$ ，则（）

A、 $3 < x + y < 9$ B、 $- 1 < x - y < 3$ C、 $2 < x y < 18$ D、 $\frac{1}{2} < \frac{x}{y} < 2$

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10. 若 $x^{5} = a_{0} + a_{1} (1 - x) + a_{2} {(1 - x)}^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{5} {(1 - x)}^{5}$ ，其中 $a_{i}$ （ $i = 0$ ， 1，…，5）为实数，则（）

A、 $a_{0} = 0$ B、 $a_{3} = - 10$ C、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} = - 16$ D、 $\sum_{i = 1}^{5} a_{i} = - 1$

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11. 甲罐中有5个红球，2个白球，乙罐中有4个红球，3个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 表示从甲罐取出的球是红球、白球，再从乙罐中随机取出一球，以B表示从乙罐取出的球是红球．则下列结论中正确的是（）

A、 $P (B | A_{1}) = \frac{7}{8}$ B、 $P (B) = \frac{33}{56}$ C、事件B与事件 $A_{1}$ 相互独立 D、 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 互斥

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12. 对于函数 $y = f (x)$ ，若 $f (x_{0}) = x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 是 $f (x)$ 的不动点：若 $f [f (x_{1})] = x_{1}$ ，则称 $x_{1}$ 是 $f (x)$ 的稳定点，则下列函数有稳定点的是（）

A、 $f (x) = - x^{- 1}$ B、 $f (x) = x^{2} + 1$ C、 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} ， 0 < x < \frac{1}{2} \\ \sqrt[3]{x} ， \frac{1}{2} \leq x < 1 \end{array}$ D、 $f (x) = {\begin{array}{l} \sqrt{x} ， 0 < x < \frac{1}{2} \\ x^{2} ， \frac{1}{2} \leq x < 1 \end{array}$

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三、填空题

13. 已知随机变量 $ξ ~ N (3 ， σ^{2})$ ，且 $P (ξ < 1) = 0.1$ ，则 $P (ξ > 5) =$ .

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14. ${(1 + x)}^{3} {(1 - 2 x)}^{4}$ 的展开式中x的系数是.

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15. 已知 $a > b > 0$ ，当 $2 a + \frac{4}{a + b} + \frac{1}{a - b}$ 取到最小值时，则 $a =$ .

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16. 有两堆集装箱，一堆4个，另一堆3个，要把这7个集装箱搬离原来位置，每次只能搬动一个集装箱，按照从上到下的顺序搬离，则A箱子在第4次搬离的概率是.

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四、解答题

17. 已知集合____，集合 $B = {x | 2 m < x < m^{2} ， m \in R}$ ．从下列三个条件中任选一个，补充在上面横线中．① $A = {x | \frac{x - 3}{x + 1} < 0}$ ；② $A = {x | | x - 1 | < 2}$ ；③ $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 < 0}$ .

(1)、当 $m = - 1$ 时，求 $∁_{R} (A ∩ B)$ ；

(2)、若 $A ∪ B = A$ ，求实数m的取值范围．

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18. 大罗山位于温州市区东南部，由四景一水网构成，它们分别是：仙岩景区、瑶溪景区、天柱寺景区、茶山景区和三垟湿地．根据温州市总体规划，大罗山将是温州市未来的“绿心”和“绿楔”，温州市区将环大罗山发展．某开发商计划2022年在三垟湿地景区开发新的游玩项目，全年需投入固定成本300万元，若该项目在2022年有x万人游客，则需另投入成本 $R (x)$ 万元，且 $R (x) = {\begin{array}{l} 25 ， 0 < x < 5 \\ x^{2} + 20 x - 100 ， 5 \leq x < 20 ， \\ 61 x + \frac{900}{x} - 565 ， x \geq 20 \end{array}$ 该游玩项目的每张门票售价为60元.

(1)、求2022年该项目的利润 $W (x)$ （万元）关于人数x（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）；

(2)、当2022年的游客为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少．

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19. 流行性感冒（简称流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一种传染性强、传播速度快的疾病．其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播．流感每年在世界各地均有传播，在我国北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季两个流行高峰．某幼儿园将去年春季该园患流感小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据：
年龄 $x$
3
4
5
6
7
患病人数 $y$
16
19
12
14
9

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程；

(2)、计算变量 $x$ 、 $y$ 的样本相关系数 $r$ （计算结果精确到0.01），并判断是否可以认为该幼儿园去年春季患流感人数与年龄负相关程度很强．（若 $| r | \in [0.75 ， 1]$ ，则 $x$ 、 $y$ 相关程度很强；若 $| r | \in [0.25 ， 0.75)$ ，则 $x$ 、 $y$ 相关程度一般：若 $| r | \in [0 ， 0.25)$ ，则 $x$ 、 $y$ 相关程度较弱．）参考数据： $\sqrt{145} \approx 12.04$ ．

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20. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{2^{x} + n}{- 2^{x + 1} - 2}$ 是奇函数．

(1)、求 $n$ 的值，并写出 $f (x)$ 的单调减区间（不必证明）；

(2)、若对任意的 $t \in [1 ， 2]$ ，不等式 $f (t^{2}) + f (t a + 2 a) \leq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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21. 某运动队拟派出甲、乙两人去参加自由式滑雪比赛．比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛，已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为 $\frac{1}{2}$ ；乙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是p和 $1 - p$ ，其中 $0 < p < \frac{1}{2}$ .

(1)、甲、乙两人中，谁进入决赛的可能性最大；

(2)、若甲、乙两人中恰有1人进入决赛的概率为 $\frac{13}{36}$ ，设进入决赛的人数为ξ，试比较ξ的方差与 $\frac{1}{2}$ 大小．

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22. 已知 $f (x) = x | x - a | + a x$ ， a为实数．

(1)、若 $x \in [a - 1 ， a + 1]$ ，求 $f (x)$ 的最大值 $g (a)$ ；

(2)、若存在两个不相等的实数 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2} < 0)$ ，满足 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，证明： $(1 + \sqrt{2}) a < x_{1} + x_{2} < 2 a$ ．

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年龄 $x$	3	4	5	6	7
患病人数 $y$	16	19	12	14	9