浙江省台州市九校联盟2021-2022学年高二下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-04-29 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $f (x) = x^{2}$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、1 B、-1 C、2 D、-2

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2. $C_{3}^{2} + C_{6}^{2} =$ （）

A、9 B、18 C、28 D、36

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3. 某中学抽取了1600名同学进行身高调查，已知样本的身高（单位：cm）服从正态分布 $N (170 ， σ^{2})$ 若身高在165cm到175cm的人数占样本总数的 $\frac{4}{5}$ ，则样本中不高于165cm的同学数目约为（）

A、80 B、160 C、240 D、320

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4. 下列各式正确的是（）

A、 ${(e^{x} \cdot s i n x)}^{^{'}} = e^{x} (s i n x + c o s x)$ B、 ${({(x + 1)}^{2})}^{^{'}} = 2 x$ C、 ${(l n x)}^{^{'}} = l n x$ D、 ${(x^{- 5})}^{^{'}} = - \frac{1}{5} x^{- 6}$

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5. 已知 $(\frac{1}{x} + m y) {(2 x - y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{2} y^{4}$ 的系数为80，则m的值为（）

A、-2 B、2 C、-1 D、1

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6. 已知随机变量 $ξ$ 的分布列为 $P (ξ = k) = \frac{1}{3} ， k = 1 ， 2 ， 3$ ，则 $D (2 ξ + 3)$ 等于（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、2 D、 $\frac{8}{3}$

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7. 某市抽调5位医生分赴4所医院支援抗疫，要求每位医生只能去一所医院，每所医院至少安排一位医生.由于工作需要，甲､乙两位医生必须安排在不同的医院，则不同的安排种数是（）

A、90 B、216 C、144 D、240

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8. 若 $a > b > 0$ ， $a l n a = b l n b$ ， $c l n c > 0$ ，则a，b，c与1的大小关系是（）

A、 $b < 1 < a < c$ B、 $1 < c < b < a$ C、 $b < a < 1 < c$ D、 $1 < b < c < a$

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二、多选题

9. 为庆祝中国共产党成立100周年，某单位组织开展党史知识竞赛活动．某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（）

A、 $P (A) = \frac{3}{5}$ B、 $P (A B) = \frac{3}{10}$ C、 $P (B | A) = \frac{1}{2}$ D、 $P (B | \bar{A}) = \frac{1}{2}$

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10. 函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a ， b ， c ， d \in R)$ 的图象如图所示，则以下结论正确的有（）

A、 $a < 0$ B、 $b < 0$ C、 $c < 0$ D、 $a + b + c > 0$

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11. 对任意的实数x，有 ${(2 x - 3)}^{7} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} {(x - 1)}^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{7} {(x - 1)}^{7}$ ，则以下结论成立的是（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{2} = 84$ C、 $a_{0} - a_{1} + a_{2} - \cdot \cdot \cdot + a_{6} - a_{7} = - 3^{7}$ D、 $| a_{0} | + | a_{1} | + \cdot \cdot \cdot + | a_{7} | = 3^{7}$

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12. 定义：在区间 $I$ 上，若函数 $y = f (x)$ 是减函数，且 $y = x f (x)$ 是增函数，则称 $y = f (x)$ 在区间 $I$ 上是“弱减函数”.根据定义可得（）

A、 $f (x) = \frac{1}{x}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上是“弱减函数” B、 $f (x) = \frac{x}{e^{x}}$ 在 $(1 ， 2)$ 上是“弱减函数” C、若 $f (x) = \frac{l n x}{x}$ 在 $(m ， + \infty)$ 上是“弱减函数”，则 $m \geq e$ D、若 $f (x) = c o s x + k x^{2}$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上是“弱减函数”，则 $\frac{2}{3 π} \leq k \leq \frac{1}{π}$

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三、填空题

13. 已知随机变量 $X ~ B (n ， p)$ ，若 $E (X) = 3$ ， $D (X) = 2$ ，则 $n$ 的值为.

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14. 已知 $x = 0$ 是函数 $f (x) = e^{a x} - l n (x + a)$ 的极值点，则 $a =$ ．

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15. 随着北京冬残奥会的开幕，吉祥物“雪容融”火遍国内外，现有3个完全相同的“雪容融”，甲､乙､丙3位运动员要与这3个“雪容融”站成一排拍照留念，则有且只有2个“雪容融”相邻的排队方法数为．

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16. 已知函数 $f (x) = a e^{x - 2} - l n x + 2 l n a$ ，若 $f (x) \geq 3$ 恒成立，则a的取值范围是．

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四、解答题

17. 求下列方程中的n值：

(1)、 $A_{2 n}^{3} = 2 A_{n + 1}^{4}$ ；

(2)、 $C_{n + 2}^{n - 2} + C_{n + 2}^{n - 3} = \frac{1}{10} A_{n + 3}^{3}$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{x - 1}{e^{x}}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调增区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[1 ， 3]$ 上的最大值和最小值．

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19. 某公司生产了两箱产品，甲箱的产品中有4个正品和3个次品，乙箱的产品中有5个正品和3个次品．

(1)、从甲乙箱中各取1个产品，求这2个产品都是次品的概率；

(2)、若先从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．

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20. 已知 $f (x) = ln x + a (1 - x)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $f (x)$ 有最大值，且最大值大于 $2 a - 2$ 时，求 $a$ 的取值范围.

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21. 为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按 $1$ 小时计算）.有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过 $1$ 小时离开的概率分别为 $\frac{1}{4}$ 、 $\frac{1}{6}$ ；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为 $\frac{1}{2}$ 、 $\frac{2}{3}$ ；两人滑雪时间都不会超过3小时.

(1)、求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；

(2)、设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量 $ξ$ （单位：元），求 $ξ$ 的分布列与数学期望 $E (ξ)$ ，方差 $D (ξ)$ .

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22. 已知函数 $f (x) = (a^{2} + 1) l n x + a x - \frac{a}{x}$

(1)、若 $a = 1$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) < 0$ 在（1， $+ \infty$ ）上恒成立，求a的值.

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