上海市金山区2021-2022学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-04-29 类型：期中考试

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一、填空题

1. 经过 $A (1 ， 0)$ 、 $B (0 ， \sqrt{3})$ 两点的直线斜率为.

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2. 过直线 $x + y = 2$ 与直线 $x - y = 0$ 的交点，圆心为 $C (- 1 ， 1)$ 的圆的标准方程是.

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3. 过圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x = 0$ 的圆心且与直线 $2 x + y = 0$ 垂直的直线方程为

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4. 求直线 $x = - 2$ 与直线 $\sqrt{3} x - y + 1 = 0$ 的夹角为.

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5. 若直线 $l_{1} : a x + 3 y - 5 = 0$ 与 $l_{2} : x + 2 y - 1 = 0$ 互相垂直，则实数 $a$ 的值为．

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6. 记 $S_{n}$ 为等差数列{ $a_{n}$ }的前n项和，若 $a_{2} = 4$ ， $S_{4} = 20$ ，则 $a_{9}$ =.

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7. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的两个焦点，过 $F_{1}$ 的直线交此椭圆于 $A$ ， $B$ 两点．若 $| A F_{2} | + | B F_{2} | = 8$ ，则 $| A B | =$ ；

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8. 求过点 $M (- 1, \sqrt{3})$ 的圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 的切线方程；

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9. 已知 $A (- 3 ， - 2)$ ， $B (- 1 ， 4)$ 到直线 $l ： x + a y + 1 = 0$ 的距离相等，则实数a为.

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10. 已知直线 $x + 2 y - 2 = 0$ 与圆 $（ x - a)^{2} + y^{2} = 4$ 相交，且直线被圆所截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，则实数 $a =$ .

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11. 已知两点 $A (3 ， 2)$ ， $B (- 1 ， 5)$ ，直线 $l$ ： $y = k x - 1$ 与线段 $A B$ 有公共点，则直线 $l$ 的斜率的取值范围

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12. 已知 $F_{1}$ ､ $F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，若点 $F_{2}$ 到该双曲线的渐近线的距离为2，点 $P$ 在双曲线上，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，则三角形 $F_{1} P F_{2}$ 的面积为.

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二、单选题

13. 双曲线 $\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{9} = 1$ 的虚半轴长是（）

A、3 B、4 C、6 D、8

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14. 抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上一点 $M$ 与焦点间的距离是10，则点 $M$ 到 $y$ 轴的距离是（）

A、10 B、9 C、8 D、5

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15. 设A为圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 上的动点， $P A$ 是圆的切线且 $| P A | = 1$ ，则P点的轨迹方程是（）

A、 $(x - 1)^{2} + y^{2} = 4$ B、 $(x - 1)^{2} + y^{2} = 2$ C、 $y^{2} = 2 x$ D、 $y^{2} = - 2 x$

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16. 国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点 $A$ 和短轴一端点 $B$ 分别向内层椭圆引切线 $A C$ ， $B D$ ，且两切线斜率之积等于 $- \frac{5}{8}$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{5}{8}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$

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三、解答题

17. 已知直线 $l_{1} ： a x + y + 2 = 0$

(1)、若直线 $l_{1}$ 在x轴上的截距为 $- 2$ ，求实数a的值；

(2)、直线 $l_{1}$ 与直线 $l_{2} ： 2 x - y + 1 = 0$ 平行，求 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公比为2的等比数列，且 $a_{2}$ ， $a_{3} + 1$ ， $a_{4}$ 成等差数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前n项和.

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19. 若点 $M (2 ， - 1)$ 为圆 $C ：$ $(x - 1)^{2} + y^{2} = 25$ 的弦 $A B$ 的中点．求：

(1)、直线 $A B$ 的方程；

(2)、△ $A C B$ 的面积．

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20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C$ 过点 $(0 ， 2)$ ，其焦点为 $F_{1} (- \sqrt{5} ， 0)$ ， $F_{2} (\sqrt{5} ， 0)$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、已知点 $P$ 在椭圆 $C$ 上，且 $| P F_{1} | = 4$ ，求 $Δ P F_{1} F_{2}$ 的面积.

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21. 已知 $a > b > 0$ ，如图，曲线 $τ$ 由曲线 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (y \leq 0)$ 和曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (y > 0)$ 组成，其中点 $F_{1} ， F_{2}$ 为曲线 $C_{1}$ 所在圆雉曲线的焦点，点 $F_{3} ， F_{4}$ ，为曲线 $C_{2}$ 所在圆雉曲线的焦点

(1)、若 $F_{2} (2 ， 0) ， F_{3} (- 6 ， 0)$ ，求曲线 $τ$ 的方程；

(2)、如图，作斜率为正数的直线 $l$ 平行于曲线 $C_{2}$ 的渐近线，交曲线 $C_{1}$ 于点 $A ， B$ ，求弦 $A B$ 的中点 $M$ 的轨迹方程；

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