山西省名校2021-2022学年高二下学期数学期中联合考试试卷

试卷更新日期：2022-04-29 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 设集合 $A = {x | y = \sqrt{x - 2}}$ ， $B = {y | y = l n (x - 2)}$ ， $C = {(x ， y) | y = x^{2}}$ ，则下列集合不为空集的是（）

A、 $A ∩ C$ B、 $B ∩ C$ C、 $B ∩ ∁_{R} A$ D、 $A ∩ B ∩ C$

查看试题解析
2. 已知i为虚数单位，复数 $z = {(\frac{2021 - i}{1 + 2021 i})}^{2022}$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、1 B、-1 C、 $i$ D、 $- i$

查看试题解析
3. ${(2 x - \frac{1}{x})}^{6}$ 的二项展开式中 $x^{2}$ 的系数为（）

A、240 B、-240 C、480 D、-480

查看试题解析
4. 2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到A，B，C三个村调研脱贫后的产业规划，其中6名工作人员都必须参加且不要求每村必须有工作人员去调研，则不同的安排方式种数共有（）

A、 $C_{5}^{2}$ B、 $C_{6}^{2} C_{4}^{2} C_{2}^{2} + C_{6}^{3} C_{3}^{2} A_{3}^{3} + \frac{C_{6}^{4} C_{2}^{1}}{A_{2}^{2}} A_{2}^{2}$ C、 $3^{6}$ D、 $6^{3}$

查看试题解析
5. 已知函数 $f (x) = \ln | x | \cdot \sin x$ ，则此函数的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
6. 把函数 $y = f (x)$ 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到函数 $y = \frac{\sqrt{2}}{2} s i n x - \frac{\sqrt{2}}{2} c o s x$ 的图象，则 $f (x) =$ （）

A、 $s i n (\frac{x}{2} - \frac{π}{12})$ B、 $s i n (\frac{x}{2} + \frac{π}{12})$ C、 $s i n (2 x - \frac{π}{12})$ D、 $s i n (2 x + \frac{π}{12})$

查看试题解析
7. 已知点 $A (- \sqrt{3} ， 0)$ ， $B (\sqrt{3} ， 0)$ ，若曲线 $(x - \frac{y}{m} + 3) (x + \frac{y}{m} + 3) = 0$ 上存在点P，满足 $| P A | + | P B | = 4$ ，则m的取值范围为（）

A、 $[- \frac{\sqrt{5}}{5} ， \frac{\sqrt{5}}{5}]$ B、 $[- \frac{\sqrt{5}}{5} ， 0) ∪ (0 ， \frac{\sqrt{5}}{5}]$ C、 $(- \infty ， - \frac{\sqrt{5}}{5}] ∪ [\frac{\sqrt{5}}{5} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - \frac{\sqrt{5}}{5}) ∪ (\frac{\sqrt{5}}{5} ， + \infty)$

查看试题解析
8. 定义在R上的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = - 2 + f^{2} (x)$ ，且 $f (x) > 0$ ，则 $f (2021) =$ （）

A、1 B、2 C、4 D、8

查看试题解析
9. 一名刚入伍的士兵带着一把步枪到练习场地打靶，已知此步枪每次只装3发子弹，若命中目标或子弹打完，则停止练习．新兵第一枪命中靶标的概率为0.7，第二枪命中靶标的概率为0.4，第三枪命中靶标的概率为0.3，则在已知靶标被击中的条件下，士兵开第二枪命中的概率为（）

A、 $\frac{60}{437}$ B、 $\frac{200}{437}$ C、 $\frac{15}{107}$ D、 $\frac{60}{473}$

查看试题解析
10. 已知点O在 $△ A B C$ 内，且 $S_{△ A O B} ： S_{△ B O C} ： S_{△ A O C} = 4 ： 3 ： 2$ ， $\vec{A O} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、1 B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{2}{3}$

查看试题解析
11. 已知 $f (n)$ 为最接近 $\sqrt{n} (n \in N^{*})$ 的整数，数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} = \frac{1}{f (n)}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前110项和为（）

A、15 B、20 C、40 D、60

查看试题解析
12. 已知定义在 $(0 ， + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ ，满足（ $1$ ） $f (x) > 0$ ；（ $2$ ） $f (x) < f^{^{'}} (x) < 2 f (x)$ （其中 $f^{^{'}} (x)$ 是 $f (x)$ 是导函数， $e$ 是自然对数的底数），则 $\frac{f (1)}{f (2)}$ 的范围为（）．

A、 $(\frac{1}{2 e^{2}} ， \frac{1}{e})$ B、 $(\frac{1}{e^{2}} ， \frac{1}{e})$ C、 $(e ， 2 e)$ D、 $(e ， e^{3})$

查看试题解析

二、填空题

13. 已知奇函数 $f (x)$ 在R上可导，其部分图象如图所示，设 $a = \frac{f (6) + f (- 2)}{6 - 2}$ ，则 $f^{'} (- 2)$ ， $f^{'} (6)$ ， a之间的大小关系为．（用“<”连接）

查看试题解析
14. 若正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 既有外接球，又有内切球，记该三棱柱的外接球和内切球的半径分别为R，r，则外接球和内切球的表面积之比为．

查看试题解析
15. 在我国南宋时期，数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中，就已经出现了如图所示的表．书中记载，是北宋数学家贾宪约于1050年左右在《释锁》算书中首先使用此数字三角形进行高次开方运算的，但原书佚失，其主要内容被杨辉著作《详解九章算法》（1261年）所抄录，故后世称“贾宪三角”为“杨辉三角”．在欧洲，帕斯卡（B．Pascal，1623-1662）于1654年发现这一规律，所以这个表又叫作帕斯卡三角形．杨辉三角的发现比欧洲早了600年左右，是我国古代数学的辉煌成就．杨辉三角是一些特殊数字按照一定规律排布的三角形数阵．它兼具形和数的特征，观察形的特征发现规律，再将离散的数抽象为具有统摄效果的代数符号（组合数符号），进行代数运算，寻找代数运算的不变性，是解决代数问题的基本方法．如递推性，除了1之外的数都等于其肩上的两数之和，即 $C_{n - 1}^{r - 1} + C_{n - 1}^{r} = C_{n}^{r}$ ．可看成，n个不同的小球，其中一个球为A球，从中取出r个小球共 $C_{n}^{r}$ 种情况，它可分为两类：r个小球中含A球有 $C_{n - 1}^{r - 1}$ 种情况；r个小球中不含A球有 $C_{n - 1}^{r}$ 种情况．分类用加法得 $C_{n - 1}^{r - 1} + C_{n - 1}^{r} = C_{n}^{r}$ ．那么， $C_{r}^{r} + C_{r + 1}^{r} + C_{r + 2}^{r} + \cdot \cdot \cdot + C_{n - 1}^{r} =$ ．（用式子作答）

查看试题解析
16. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，点 $M (- \frac{p}{2} ， 0)$ ，过点F的直线与此抛物线交于A，B两点，若 $| A B | = 12$ ．且 $t a n ∠ A M B = 2 \sqrt{2}$ ，则p＝．

查看试题解析

三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $b c o s B = \frac{1}{2} a c o s C + \frac{1}{2} c c o s A$ ．

(1)、求角B；

(2)、若 $b = \sqrt{3}$ ， $c \geq b$ ，求 $2 c - a$ 的取值范围．

查看试题解析
18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{3 n} = 3 a_{n} + 2 ， n \in N_{+}$ ， $a_{3} + a_{4} = 3 (a_{1} + a_{2})$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = a_{n} \cdot 2^{n - 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

查看试题解析
19. 2022年2月4日至20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京成功举办．这场冰雪盛会是运动健儿奋力拼搏的舞台，也是中外文明交流互鉴的舞台，折射出我国更加坚实的文化自信，诠释着新时代中国的从容姿态，传递出中华儿女与世界人民“一起向未来”的共同心声．某学校统计了全校学生观看北京冬奥会开幕式和闭幕式的时长情况（单位：分钟），并根据样本数据绘制得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、求频率分布直方图中a的值，并估计样本数据的90%分位数；

(2)、采用样本量比例分配的分层随机抽样方式，从观看时长在 $[200 ， 280]$ 的学生中抽取6人，若从这6人中随机抽取3人在全校交流观看体会，设抽取的3人中观看时长在 $[200 ， 240)$ 的人数为X，求X的分布列和方差．

查看试题解析
20. 如图，在五面体ABCDE中，已知 $A C ⊥$ 平面BCD， $E D ∥ A C$ ，且 $A C = B C = 2 E D = 2$ ， $D C = D B = \sqrt{3}$ ．

(1)、证明：平面 $A B E ⊥$ 平面ABC；

(2)、设平面ABE和平面CBE的夹角为 $α$ ，平面ABE和平面DBE的夹角为 $β$ ，证明： $α = β$ ．

查看试题解析
21. 已知双曲线 $C ： x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ ，过点 $D (2 ， 0)$ 的直线l与该双曲线两支分别交于M，N两点，设 $M (x_{1} ， y_{1})$ ， $N (x_{2} ， y_{2})$ ．

(1)、若 $b = \sqrt{2}$ ，点O为坐标原点，当 $\vec{O M} \cdot \vec{O N} = 0$ 时，求 $x_{1} + x_{2}$ 的值；

(2)、设直线l与y轴交于点E， $\vec{E M} = λ \vec{M D}$ ， $\vec{E N} = μ \vec{N D}$ ，证明： $λ + μ$ 为定值．

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = l n x + a x - 2$ ， $g (x) = e^{x} + x - 2$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 有且仅有一个零点，求实数a的取值范围；

(2)、当 $a = 1$ 时，若函数 $f (x) \cdot g (x)$ 有两个不同的零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，证明： $x_{1} > \frac{1}{6} x_{2}^{2}$ ．（参考数据： $l n 2 \approx 0.69$ ， $l n 3 \approx 1.1$ ）

查看试题解析