江西省赣州市十六县（市）十九校2021-2022学年高二下学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2022-04-29 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. $i$ 为虚数单位， $i^{607} =$ （）

A、 $- i$ B、 $i$ C、-1 D、1

查看试题解析
2. 设 $f (x)$ 存在导函数且满足 $lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1) - f (1 - 2 Δ x)}{2 Δ x} = - 1$ ，则曲线 $y = f (x)$ 上的点 $(1 ， f (1))$ 处的切线的斜率为（）

A、-1 B、-2 C、1 D、2

查看试题解析
3. $\int_{- 2}^{2} (\sqrt{4 - x^{2}} + x^{3}) d x =$ （）

A、8π B、4π C、2π D、π

查看试题解析
4. 空间中，与向量 $\vec{a} = (3 ， 0 ， 4)$ 同向共线的单位向量 $\vec{e}$ 为（）

A、 $\vec{e} = (1 ， 0 ， 1)$ B、 $\vec{e} = (1 ， 0 ， 0)$ 或 $\vec{e} = (- 1 ， 0 ， - 1)$ C、 $\vec{e} = (\frac{3}{5} ， 0 ， \frac{4}{5})$ D、 $\vec{e} = (\frac{3}{5} ， 0 ， \frac{4}{5})$ 或 $\vec{e} = (- \frac{3}{5} ， 0 ， - \frac{4}{5})$

查看试题解析
5. “干支(gàn zhī)纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支，干支按序相配，组成干支纪年法，相配顺序为甲子、乙丑、丙寅…癸酉；甲戌、乙亥、丙子…癸未；甲申、乙酉、丙戌…癸巳；……共得60种不同组合，这就是俗称的“六十甲子”，也叫“干支表”，周而复始干支纪年以每年立春换年，是中华民族的伟大发明.2022年是干支纪年中的壬寅年，则2036年是干支纪年中的（）

A、甲寅年 B、乙卯年 C、丙辰年 D、甲巳年

查看试题解析
6. 已知函数 $f (x) = 2 f^{'} (3) x - 2 x^{2} + 3 l n x$ ，则 $f (1)$ ＝（）

A、21 B、20 C、16 D、11

查看试题解析
7. 用数学归纳法证明 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{2^{n} - 1} < n (n \in N^{*} ， n > 1)$ 时，第一步应验证不等式（）

A、 $1 + \frac{1}{2} < 2$ B、 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} < 2$ C、 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} < 3$ D、 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} < 3$

查看试题解析
8. 已知函数f(x)＝ $\frac{1}{4}$ x²＋cosx，f'(x)是函数f(x)的导函数，则f'(x)的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
9. 对于三次函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ ，给出定义：设 $f^{'} (x)$ 是函数 $y = f (x)$ 的导数， $f^{″} (x)$ 是 $f^{'} (x)$ 的导数.若方程 $f^{″} (x) = 0$ 有实数解 $x_{0}$ ，则称点 $(x_{0} ， f (x_{0}))$ 为函数 $y = f (x)$ 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数 $g (x) = 2 x^{3} - 6 x^{2} + 4$ ，则 $g (\frac{1}{100}) + g (\frac{2}{100}) + ⋯ + g (\frac{199}{100}) =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、3

查看试题解析
10. 如图，已知多面体 $A B C D E$ ，其中 $△ A B C$ 是边长为4的等边三角形，四边形 $A C D E$ 是矩形， $A E = 2$ ，平面 $A C D E ⊥$ 平面 $A B C$ ，则点 $C$ 到平面 $A B D$ 的距离是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3} + 1}{4}$

查看试题解析
11. 设直线 $y = 2 x + t (t \neq 0)$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 两条渐近线分别交于点 $A$ ， $B$ ，若点 $P (4 t ， 0)$ 满足 $| P A | = | P B |$ ，则该双曲线的渐近线方程是（）

A、 $y = \pm 3 x$ B、 $y = \pm \sqrt{3} x$ C、 $y = \pm \frac{1}{3} x$ D、 $y = \pm \frac{1}{9} x$

查看试题解析
12. 已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f' (x)$ ， $e$ 为自然对数的底数，对 $\forall x \in R$ 均有 $f (x) + x f' (x) > x f (x)$ 成立，且 $f (2) = e^{2}$ ，则不等式 $x f (x) > 2 e^{x}$ 的解集是（）

A、 $(- \infty ， e)$ B、 $(e ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 2)$ D、 $(2 ， + \infty)$

查看试题解析

二、填空题

13. 设复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 2 - 2 i$ ，则 $| z | =$ ．

查看试题解析
14. 已知函数 $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 4 l n x$ 在 $[t ， t + 1]$ 上不单调，则实数t的取值范围是．

查看试题解析
15. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 与双曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{m^{2}} - \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1 (m > 0 ， n > 0)$ 有相同的焦点 $F_{1} ， F_{2}$ ，且两曲线在第一象限的交点为P，若 $P F_{2} ⊥ F_{1} F_{2}$ ，且 $a = 2 b$ ，则双曲线 $C_{2}$ 的离心率为．

查看试题解析
16. 体积为8的四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是边长为 $2 \sqrt{2}$ 的正方形，四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球球心O到底面ABCD的距离为2，则点P的轨迹长度为.

查看试题解析

三、解答题

17. 已知a为实数，函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + x + a$ ， $f^{'} (- 1) = 0$ ．

(1)、求a的值；

(2)、求函数 $y = f (x)$ 在 $[- \frac{3}{2} ， 1]$ 上的极值．

查看试题解析
18. 如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是矩形， $P D ⊥$ 平面ABCD， $P D = D C = 3 D A$ ，点E是棱AD上的一点，且 $A D = 3 E D$ ，点F是棱PC上的一点，且 $C F = 2 P F$ ．

(1)、求证： $D F / /$ 平面PEB；

(2)、求直线PC与平面PEB所成角的正弦值．

查看试题解析
19. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点 $(\frac{1}{2} ， n)$ 到焦点的距离与到 $x$ 轴的距离相等.

(1)、求抛物线的方程；

(2)、若直线 $l$ 与抛物线交于A， $B$ 两点，且满足 $O A ⊥ O B$ ( $O$ 为坐标原点)，证明：直线 $l$ 与 $x$ 轴的交点为定点.

查看试题解析
20. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面四边形 $A B C D$ 是直角梯形， $P C ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B / /$ $C D$ ， $∠ B A D = 9 0^{∘}$ ， $A D = C D = 1$ ， $∠ A B C = 4 5^{∘}$ ， $E$ 为 $P B$ 的中点.

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若直线 $P B$ 与平面 $P A C$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求二面角 $P - A C - E$ 的余弦值.

查看试题解析
21. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且椭圆 $C$ 上的点到其左焦点的最大距离为 $2 + \sqrt{3}$ ，点 $M$ 是 $x$ 轴上的一点，过点 $M$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若 $△ A O M$ 的面积是 $△ B O M$ 面积的两倍，且直线 $l$ 与圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = \frac{4}{7}$ 相切于点 $N$ ，求 $| M N |$ 的长.

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = a l n x + \frac{1}{x} - 1 (a \neq 0)$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若不等式 $f (x) \geq x - 1$ 对 $x \in (0 ， 1]$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

查看试题解析