江苏省常州市金坛区2021-2022学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-04-29 类型：期中考试

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一、单选题

1. 如图是三个正态分布 $X ~ N (0 ， 0.64)$ ， $Y ~ N (0 ， 1)$ ， $Z ~ N (0 ， 4)$ 的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为（）.

A、①②③ B、③②① C、②③① D、①③②

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2. 安排A，B，C三名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A不安排照顾老人甲，义工B不安排照顾老人乙，则安排的方法共有（）种.

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 若 ${(\frac{\sqrt{2}}{x} + x^{2})}^{n}$ 的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则展开式中系数为无理数的项数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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4. 某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是 $p$ ，且 $p > \frac{1}{2}$ ，若此人通过的科目数 $X$ 的方差是 $\frac{4}{3}$ ，则 $E (X) =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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5. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面是边长为1的正方形，若 $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 60 °$ ，且 $A A_{1} = 2$ ，则 $A C_{1}$ 的长为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $\sqrt{15}$

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6. 现有4名疫情防控志愿者全员参与三个不同的防控岗位，每位志愿者只能参与一个岗位的工作，且每个岗位至少有一名志愿者参与，则参与防控的情况共有（）种.

A、24 B、36 C、48 D、50

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7. 已知随机变量 $ξ ∼ N (μ ， σ^{2})$ ，若函数 $f (x) = P (x \leq ξ \leq x + 2)$ 为偶函数，则 $μ =$ （）

A、2 B、1 C、0 D、 $- 1$

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8. 以等腰直角三角形斜边 $B C$ 上的高 $A D$ 为折痕，把 $△ A B D$ 和 $△ A C D$ 折成120°的二面角.若 $A B = \sqrt{2}$ ， $\vec{D P} = x \vec{D A} + y \vec{D B} + (1 - x - y) \vec{D C}$ ，其中 $x ， y \in R$ ，则 $| \vec{D P} |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$

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二、多选题

9. 对 $\forall n \geq m$ 且 $m ， n \in N^{*}$ ，下列等式一定恒成立的是（）.

A、 $C_{n}^{m} = C_{n}^{n - m}$ B、 $C_{n}^{m} = \frac{A_{n}^{m}}{A_{m}^{m}}$ C、 $C_{n + 1}^{m} = C_{n}^{m} + C_{n}^{m - 1}$ D、 $A_{n + 1}^{m} = A_{n}^{m} + A_{n}^{m - 1}$

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10. $2^{2022} + a$ 能被7整除，则整数 $a$ 的值可以是（）

A、4 B、6 C、11 D、13

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11. 下列命题中，正确的命题是（）.

A、已知随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (n ， p)$ ，若 $E (X) = 40$ ， $D (X) = 30$ ，则 $p = \frac{1}{4}$ B、将一组数据中的每个数据都扩大为原来的2倍后，则方差也随之扩大为2倍 C、设随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (0 ， 4)$ ，若 $P (ξ > 2) = p$ ，则 $P (- 2 < ξ < 0) = \frac{1}{2} - p$ D、若随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (8 ， \frac{1}{2})$ ，则变量 $X$ 的标准差为 $\sqrt{2}$

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12. 如图，在边长为 $a$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 在线段 $B_{1} C$ 上运动，则下列结论正确的是（）

A、 $B D_{1} ⊥ A P$ B、 $A P + P B$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2} a$ C、异面直线 $A P$ 与 $A_{1} D$ 的距离是定值 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} a$ D、 $∠ A P B = ∠ C_{1} P D_{1}$

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三、填空题

13. $(1 + x^{2}) {(1 - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中，常数项为.

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14. 如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.过长方体的任意两个顶点的直线与长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数是（用数字作答）.

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15. 已知 $P$ 是 $△ A B C$ 所在平面外一点， $\vec{P M} = 2 \vec{M C}$ ，且 $\vec{B M} = x \vec{A B} + y \vec{A C} + z \vec{A P}$ ，则实数 $x + y + z$ 的值为.

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16. 甲袋中装有5个红球，2个白球和3个黑球，乙袋中装有4个红球，3个白球和3个黑球，且所有球的大小和质地均相同.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋中，再从乙袋中随机取出一球，则从乙袋中取出的球是红球的概率是.

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四、解答题

17. 某地区3000名高三学生在某次模拟考试中的总分 $X$ 服从正态分布 $N (550 ， 5 0^{2})$ ，
参考数据： $P (μ - σ < X ≤ μ + σ) \approx 0.683$ ， $P (μ - 2 σ < X ≤ μ + 2 σ) \approx 0.954$ ， $P (μ - 3 σ < X ≤ μ + 3 σ) \approx 0.997$ .

(1)、求 $P (500 < X \leq 650)$ ；

(2)、请判断学生总分 $X$ 落在区间 $(600 ， 700]$ 的人数.

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18. 若 ${(2 x + \sqrt{3})}^{4} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4}$ .

(1)、求 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}$ 的值；

(2)、求 ${(a_{0} + a_{2} + a_{4})}^{2} - {(a_{1} + a_{3})}^{2}$ 的值.

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19. 如图，已知正方形 $A B C D$ 和矩形 $A C E F$ 所在平面互相垂直， $A B = \sqrt{2}$ ， $A F = 1$ ， $M$ 是线段 $E F$ 的中点.

(1)、求证： $A M / /$ 平面 $B D E$ ；

(2)、试在线段 $A C$ 上确定一点 $P$ ，使 $P F$ 与 $B C$ 所成角是60°.

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20. 设甲、乙两人上班，每天8：30之前到班的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，假定甲、乙两人到班的情况互不影响，且任意一人每天到班的情况相互独立.

(1)、用 $X$ 表示乙四天中8：30之前到班的天数，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望；

(2)、记事件 $A$ 为“到班的四天中，甲在8：30之前到班的天数比乙在8：30之前到班的天数恰好多3天”，求事件 $A$ 发生的概率.

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21. 在一次抛硬币游戏中，甲乙两人依次抛掷，每次抛掷出现正面向上和反面向上的概率都是 $\frac{1}{2}$ .甲先抛，若抛掷正面向上记1分，抛掷反面向上记-1分.设甲抛掷的得分记为数列 ${a_{n}}$ ，乙抛掷的得分记为数列 ${b_{n}}$ ，数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ .

(1)、求满足“ $| S_{2} - T_{2} | = 4$ ”的事件 $A$ 的概率.

(2)、求满足“ $S_{1} + T_{1} \neq 0$ ，且 $S_{4} + T_{4} = 2$ ”的事件 $B$ 的概率.

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22. 如图，四边形 $A B C D$ 是梯形， $A B / / C D$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A B = B C = 2 C D = 2$ ，点 $P$ 是平面 $A B C D$ 外一点， $P B = P C$ ，直线 $P D$ 与平面 $A B C D$ 所成角的大小为45°，且平面 $P B C ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、求证： $B C ⊥ P A$ ；

(2)、求点 $D$ 到平面 $P B C$ 的距离；

(3)、求平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 所成锐二面角的余弦值.

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