湖北省部分普通高中联合体2021-2022学年高二下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-04-29 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知某校高二（1）班有42人，高二（2）班有45人，高二（3）班有38人，现从这三个班中任选1人去参加活动，则不同的选法共有（）

A、125种 B、135种 C、155种 D、375种

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2. 2022年北京冬奥会的顺利召开，引起大家对冰雪运动的关注．若A，B，C，D四人在自由式滑雪和花样滑冰这两项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有（）

A、8种 B、12种 C、16种 D、24种

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3. 函数 $f (x) = x^{2}$ 在区间 $[2 ， 4]$ 上的平均变化率等于（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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4. $(n - 3) (n - 4) \cdot \cdot \cdot (n - 9) (n - 10)$ （ $n \in N^{*}$ ， $n > 10$ ）可以表示为（）

A、 $A_{n - 3}^{9}$ B、 $A_{n - 3}^{8}$ C、 $A_{n - 3}^{7}$ D、 $C_{n - 3}^{7}$

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5. 甲、乙、丙等6人排成一排，则甲和乙相邻且他们都和丙不相邻的排法共有（）

A、144种 B、72种 C、36种 D、246种

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6. 已知函数 $f (x) = - x^{3} + a x^{2} - x - 1$ 在R上是单调函数，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - \sqrt{3}] ∪ [\sqrt{3} ， + \infty)$ B、 $[- \sqrt{3} ， \sqrt{3}]$ C、 $(- \infty ， - \sqrt{3}) ∪ (\sqrt{3} ， + \infty)$ D、 $(- \sqrt{3} ， \sqrt{3})$

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7. 已知数列{a_n}是等比数列，S_n为其前n项和，若a₁＋a₂＋a₃=4，a₄＋a₅＋a₆=8，则S₁₂=

A、40 B、60 C、32 D、50

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8. 有4种不同颜色的涂料，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（）

A、1512种 B、1346种 C、912种 D、756种

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二、多选题

9. 若 $a = C_{3 n}^{38 - n} + C_{21 + n}^{3 n}$ ，下列结论正确的是（）

A、n=10 B、n=11 C、a=466 D、a=233

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10. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n} (n \in N^{*})$ ，公差 $d \neq 0$ ， $S_{6} = 90$ ， a₇是a₃与a₉的等比中项，则下列选项正确的是（）

A、 $a_{1} = 22$ B、 $d = - 2$ C、当且仅当 $n = 10$ 时， $S_{n}$ 取得最大值 D、当 $S_{n} > 0$ 时，n的最大值为20

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11. 牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是 $θ_{1}$ （单位： $° C$ ），环境温度是 $θ_{0}$ （单位： $° C$ ），其中 $θ_{1} > θ_{0}$ .则经过 $t$ 分钟后物体的温度 $θ$ 将满足 $θ = f (t) = θ_{0} + (θ_{1} - θ_{0}) \cdot e^{- k t}$ ，其中 $k$ 为正常数.现有一杯 $80 ° C$ 的热红茶置于 $20 ° C$ 的房间里，根据这一模型研究红茶冷却，正确的结论是（）

A、 $f^{'} (t) < 0$ B、若 $f (3) = 65 ° C$ ，则 $f (6) = 50 ° C$ C、若 $f^{'} (3) = - 4$ ，则其实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟 $4 ° C$ 的速率下降 D、红茶温度从 $80 ° C$ 下降到 $60 ° C$ 所需的时间比从 $60 ° C$ 下降到 $40 ° C$ 所需的时间少

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12. 已知 $1 < a < b < e$ （e为自然对数的底数），则（）

A、 $a^{b} < b^{a}$ B、 $b^{a} > e^{\frac{a b}{e}}$ C、 $a^{a} > e^{\frac{a b}{e}}$ D、 $a^{b} < e^{\frac{a b}{e}}$

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三、填空题

13. 在50件产品中，有48件合格品，2件次品，从这50件产品中任意抽出3件，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有种．

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14. 余弦曲线 $y = c o s x$ 在点 $(\frac{π}{2} ， 0)$ 处的切线方程为．

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等比数列， $a_{1} = 1024$ ，公比 $q = \frac{1}{2}$ ．若 $T_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项积，则 $T_{n}$ 的最大值为．

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16. 设函数 $f^{'} (x)$ 是奇函数 $f (x) (x \in R)$ 的导函数． $f (- 1) = 0$ ，当 $x > 0$ 时， $x f^{'} (x) - f (x) < 0$ ，则使得 $f (x) < 0$ 成立的 $x$ 的取值范围为．

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四、解答题

17.

(1)、解关于 $x$ 的方程 $\frac{A_{15}^{x}}{A_{15}^{x} - A_{15}^{x - 1}} = \frac{10}{9}$ ．

(2)、求关于 $n$ 的不等式 $7 C_{n}^{4} > 5 C_{n}^{6}$ 的解集．

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18. 求函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x$ 在区间 $[- 3 ， 3]$ 的最大值与最小值．

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19. 设数列 ${a_{n}}$ 是各项为正数的等比数列， $a_{1}$ 是 $a_{2}$ 和 $6 a_{3}$ 的等差中项．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的公比；

(2)、若 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ，令 $b_{n} = n a_{n}$ 求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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20. 已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x}$

(1)、判断函数 $f (x)$ 的单调性，并求出 $f (x)$ 的极值；

(2)、设 $g (x) = f (x) - a (a \in R)$ ，讨论函数 $g (x)$ 的零点个数．

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ 且 $S_{n} = 2 S_{n - 1} + 2 (n \geq 2)$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、在 $a_{n}$ 与 $a_{n + 1}$ 之间插入n个数，使这 $n + 2$ 个数组成一个公差为 $d_{n}$ 的等差数列，在数列 ${d_{n}}$ 中是否存在3项 $d_{m}$ ， $d_{k}$ ， $d_{p}$ （其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由，

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22. 已知函数 $f (x) = l n x$ ， $g (x) = x^{2} - x + 1$ ．

(1)、求函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 的单调区间；

(2)、若直线l与函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的图象都相切，求直线l的条数．

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