湖北省部分高中联考2021-2022学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-04-29 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若 $C_{10}^{6} = C_{10}^{x}$ ，则x的值为（）

A、4 B、6 C、4或6 D、8

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2. 已知等差数列{ $a_{n}$ }中， $a_{8} = 7$ ， $a_{7} + a_{13} = 22$ ，则公差d是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 已知函数y＝f(x)的导函数 $f^{^{'}} (x)$ 的图象如图所示，则 $f (x)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知数列{ $a_{n}$ }的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2 S_{n} (n \geq 1)$ ，则 $a_{2022} =$ （）

A、 $2 \times 3^{2021}$ B、 $3^{2021}$ C、 $3^{2020}$ D、 $2 \times 3^{2020}$

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5. 某区突发新冠疫情，为抗击疫情，某医院急将5名护士分配到3个接种点，每个接种点至少分配1名护士．每个护上只能去一个接种点，则不同的分配方法共有（）种

A、120 B、150 C、180 D、210

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6. 已知函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ ，且满足 $f (x) = 2 x \cdot f^{'} (1) - e^{x}$ ，求 $f^{'} (1)$ =（）

A、1 B、－1 C、－ $e$ D、 $e$

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7. 若 ${(1 - x)}^{10} = a_{0} + a_{1} (1 + x) + a_{2} {(1 + x)}^{2} + . . . + a_{10} {(1 + x)}^{10}$ ，则 $a_{8} =$ （）

A、180 B、144 C、－144 D、－180

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8. 设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + \frac{1}{2} a_{2} + \frac{1}{2^{2}} a_{3} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{2^{n - 1}} a_{n} = n$ ，求 ${n a_{n}}$ 的前 $n$ 项和（）

A、 $(n - 1) 2^{^{n}} - 1$ B、 $(n - 1) 2^{n} + 1$ C、 $(n + 1) 2^{n + 1} - 1$ D、 $(n + 1) 2^{n + 1} + 1$

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二、多选题

9. 下列数列中，是等差数列的是（）

A、1，4，7，10 B、 $l g 2 ， l g 4 ， l g 8 ， l g 16$ C、 $2^{5} ， 2^{4} ， 2^{3} ， 2^{2}$ D、10，8，6，4，2

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10. 已知 ${(a + 2 b)}^{n}$ 的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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11. 现安排高二年级 $A$ ， $B$ ， $C$ 三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（）

A、所有可能的方法有 $3^{4}$ 种 B、若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有 $37$ 种 C、若同学 $A$ 必须去工厂甲，则不同的安排方法有 $12$ 种 D、若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有 $24$ 种

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} - 5 x ， x \leq 0 \\ 2 l n x ， x > 0 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) + 2 x - a$ 有3个零点，则实数a可能的取值有（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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三、填空题

13. 曲线f（x）=e^x+x+1在点（0，f（0））处的切线方程为．

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14. 如图为某地街道路线简图，甲从街道的A处出发，先到达B处与乙会和，再一起去到C处，可以选择的最短路径条数为．

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15. $(1 + \frac{1}{x^{2}}) {(1 + 2 x)}^{7}$ 展开式中 $x^{3}$ 的系数为．

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16. 任取一个正整数，若为奇数，就将该数乘3再加上1；若为偶数，就将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称为“角谷猜想”等)．如取正整数 $m = 6$ ，根据上述运算法则得到6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1(简称为8步“雹程”)．现给出冰雹猜想的递进关系如下：已知数列{ $a_{n}$ }满足 $a_{1} = m$ (m为正整数)， $a_{n} = {\begin{array}{l} \frac{a_{n}}{2} ，当 a_{n} 为偶数时 \\ 3 a_{n} + 1 ，当 a_{n} 为奇数时 \end{array}$ ，当 $m = 9$ 时，试确定使得 $a_{n} = 1$ 需要雹程步数为．

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四、解答题

17. 求下列函数的导数：

(1)、 $f (x) = (x^{2} + 1) (x - \frac{1}{x})$

(2)、 $f (x) = \frac{l n x}{x}$

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18. 甲、乙、丙、丁、戊5人并排站成一排．

(1)、若甲、乙不相邻，则有多少种不同排法？

(2)、若甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则有多少种不同的排法？

(3)、若甲不在最左，乙不在最右，则有多少种不同的排法？

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $2 a_{n + 1} = 3 a_{n} + 1$

(1)、证明 ${a_{n} + 1}$ 是等比数列；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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20.

(1)、求 ${(1 - 2 x)}^{8}$ 的展开式中 $x^{3}$ 项的系数；

(2)、求 ${(\sqrt{x} - \frac{2}{x})}^{9}$ 的展开式中的常数项．

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等比数列， $S_{2} = 6$ ，且 $4 a_{2}$ ， $2 a_{3}$ ， $a_{4}$ 成等差数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{(l o g_{2} a_{2 n - 1}) \cdot (l o g_{2} a_{2 n + 1})}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ，并证明 $T_{n} < \frac{1}{2}$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = a x - 1 - e^{x}$ ， $a \in R$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若方程 $f (x) = x l n x$ 在 $(1 ， e)$ 上有实根，求实数a的取值范围．

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