河南省南阳地区2021-2022学年高二下学期理数期中热身摸底考试试卷

试卷更新日期：2022-04-29 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知复数 $z = (2 + i) (1 - 2 i)$ ，则z在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

查看试题解析
2. 函数 $y = 3 x^{2} - 2 x$ 从1到2的平均变化率为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

查看试题解析
3. 在 $△ A B C$ 中，三条边的长分别为a，b，c，面积为S，则 $△ A B C$ 的内切圆半径 $r = \frac{2 S}{a + b + c}$ ．类比这个结论，在四面体PABC中，六条棱的长分别为a，b，c，d，e，f，四个面的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ， $S_{4}$ ，体积为V，则四面体PABC的内切球半径为（）

A、 $\frac{2 (S_{1} + S_{2} + S_{3} + S_{4})}{a + b + c + d + e + f}$ B、 $\frac{2 V}{a + b + c + d + e + f}$ C、 $\frac{3 V}{a + b + c + d + e + f}$ D、 $\frac{3 V}{S_{1} + S_{2} + S_{3} + S_{4}}$

查看试题解析
4. 函数 $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 1$ 的图象在 $x = 1$ 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

查看试题解析
5. 已知复数z满足 $| z - i | = 2$ ，且 $| z | = 1$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- i$ D、i

查看试题解析
6. 已知某商品的生产成本C与产量q的函数关系式为 $C = 100 + 3 q$ ，单价p与产量q的函数关系式为 $p = 75 - \frac{1}{6} q^{2}$ ，则当利润最大时， $q =$ （）

A、8 B、12 C、16 D、20

查看试题解析
7. 已知复数 $z = \frac{\sqrt{3} - i}{\sqrt{3} + i}$ ， $\bar{z}$ 为z的共轭复数，则 $\frac{\bar{z}}{z}$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2} i$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

查看试题解析
8. $\int_{0}^{\sqrt{6}} (\sqrt{6 - x^{2}} + x - \sqrt{6}) d x =$ （）

A、 $\frac{3 π}{2} - 3$ B、 $\frac{π}{2} + 3$ C、 $\frac{3 π}{2} - 2$ D、 $\frac{π}{2} - 1$

查看试题解析
9. 观察下列式子：
$1 \times 2 = \frac{1}{3} (1 \times 2 \times 3 - 0 \times 1 \times 2)$ ；
$2 \times 3 = \frac{1}{3} (2 \times 3 \times 4 - 1 \times 2 \times 3)$ ；
$3 \times 4 = \frac{1}{3} (3 \times 4 \times 5 - 2 \times 3 \times 4)$ ；
…
根据规律，则 $1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + ⋯ + 2021 \times 2022 =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \times 2020 \times 2021 \times 2022$ B、 $\frac{1}{3} \times 2021 \times 2022 \times 2023$ C、 $\frac{1}{3} (2020 \times 2021 \times 2022 - 1 \times 2 \times 3)$ D、 $\frac{1}{3} (2021 \times 2022 \times 2023 - 1 \times 2 \times 3)$

查看试题解析
10. 已知函数 $f (x)$ 为奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = g (x)$ ，函数 $g (x)$ 的导函数为 $g^{'} (x)$ ．且 $g (x) = 2 x g^{'} (1) + x^{2}$ ，则不等式 $f (x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- 4 ， 0) ∪ (4 ， + \infty)$ B、 $(- 2 ， 0) ∪ (2 ， + \infty)$ C、 $(- 4 ， 0) ∪ (0 ， 4)$ D、 $(- 2 ， 0) ∪ (0 ， 2)$

查看试题解析
11. 甲、乙、丙、丁，戊五位同学一起去向老师询问数学竞赛的成绩．老师说：“你们五人中有两位获得一等奖，三位获得二等奖．”甲看了乙、丙的成绩后说：“我还是不知道我的成绩．”丁看了甲、戊的成绩后说：“你们俩的获奖情况一样．”根据以上信息，则（）

A、丁一定获得一等奖 B、丁一定获得二等奖 C、乙、丁的获奖情况一定不一样 D、乙、丁的获奖情况可以相同

查看试题解析
12. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是函数 $f (x) = x^{2} - 2 a x + 2 l n x$ 的两个极值点，且 $x_{1} < x_{2}$ ．当 $a \geq \frac{5}{2}$ 时，不等式 $f (x_{1}) \geq m x_{2}$ 恒成立，则实数m的取值范围为（）

A、 $(0 ， - \frac{9}{8} - l n 2]$ B、 $(- \infty ， - \frac{9}{8} - l n 2]$ C、 $[- \frac{9}{8} - l n 2 ， 0)$ D、 $[- \frac{9}{8} - l n 2 ， + \infty)$

查看试题解析

二、填空题

13. 设复数z满足 $\frac{i + z}{1 - z} = i^{2023}$ ，则 $| 1 + z | =$ ．

查看试题解析
14. 已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f^{'} (1) = 3$ ，则 $\underset{Δ x \to 0}{l i m} = \frac{f (1 + Δ x) - f (1)}{3 Δ x} =$ ．

查看试题解析
15. 若复数z满足 $| z + 1 - i | = 1$ ，则 $| z - 2 i |$ 的最大值为．

查看试题解析
16. 下面四个推理得出的结论正确的所有序号是．
①函数 $f (x) = x^{3}$ ，因为 $f^{'} (0) = 0$ ，所以 $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极值点.②在平面中，三角形的内角和是 $180 °$ ，四边形的内角和是 $360 °$ ，五边形的内角和是 $540 °$ ，由此得到凸多边形的内角和是 $(n - 2) \times 180 °$ .③在 $△ A B C$ 中，D为BC的中点，则 $\vec{A D} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C})$ ，类比到四面体ABCD中，G为 $△ B C D$ 的重心，则 $\vec{A G} = \frac{1}{3} (\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D})$ .④在圆 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 中，AB为直径，C为圆上异于A，B的任意一点．若AC，BC的斜率都存在，则 $k_{A C} \cdot k_{B C} = - 1$ ，类比到椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 中，AB为过中心的一条弦，P为椭圆上异于A，B的任意一点．若PA，PB的斜率都存在，则 $k_{P A} \cdot k_{P B} = - \frac{a^{2}}{b^{2}}$ .

查看试题解析

三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} - m x$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 在R上单调递增，求实数m的取值范围；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) + m x$ ，求 $g (x)$ 在 $[- 2 ， 1]$ 上的值域．

查看试题解析
18. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 4$ ， $a_{n + 1} = \frac{n + 3}{n + 1} a_{n} + 1 (n \in N^{*})$ ．

(1)、求 $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ 的值，并猜想 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、请用数学归纳法证明（1）中的猜想．

查看试题解析
19. 已知函数 $f (x) = a x l n x (a \neq 0)$ ，函数 $g (x) = k x - 1$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a = 1$ 时，若 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象在区间 $[\frac{1}{e} ， e]$ 上有两个不同的交点，求k的取值范围．

查看试题解析
20. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C为 $△ A B C$ 的三个内角．

(1)、若 $s i n B s i n C = c o s^{2} \frac{A}{2}$ ，证明： $△ A B C$ 为等腰三角形．

(2)、若 $s i n C = c o s A + c o s B$ ，用反证法证明： $△ A B C$ 为直角三角形．

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = \frac{l n (x + 1)}{x + 1}$ ．

(1)、证明：函数 $f (x)$ 的图象与直线 $y = x$ 只有一个公共点．

(2)、证明：对任意的 $n \in N^{*}$ ， $2 + \frac{3}{4} + \frac{4}{9} + \cdot \cdot \cdot + \frac{n + 1}{n^{2}} > l n (n + 1)$ ．

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = x - l n x - \frac{e^{x}}{x}$ ．

(1)、判断函数 $f (x)$ 的单调性．

(2)、证明： $f (x) - x < l n 2 - 2$ ．

查看试题解析