福建省福州市2021-2022学年高二下学期数学期中质量抽测试卷

试卷更新日期：2022-04-29 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $x - y - 2 = 0$ 的倾斜角是（）

A、30° B、45° C、60° D、75°

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2. ${(1 + x)}^{6}$ 展开式中，含 $x^{4}$ 的项的系数为（）

A、15 B、20 C、60 D、360

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3. 设 ${a_{n}}$ 是等比数列，若 $a_{2} = 4$ ， $a_{1} a_{5} = 64$ ，则 $a_{4} =$ （）

A、8 B、12 C、16 D、32

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4. 4位同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每位同学只能去一个小区，则不同的安排方法共有（）

A、3⁴种 B、 $4^{3}$ 种 C、 $A_{4}^{3}$ 种 D、 $C_{4}^{2} A_{3}^{3}$ 种

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5. 在平面直角坐标系xOy中，动点 $P (x ， y)$ 到直线 $x = 1$ 的距离比它到定点 $(- 2 ， 0)$ 的距离小1，则P的轨迹方程为（）

A、 $y^{2} = 2 x$ B、 $y^{2} = 4 x$ C、 $y^{2} = - 4 x$ D、 $y^{2} = - 8 x$

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6. 在直三棱柱 $A B C - A^{'} B^{'} C^{'}$ 中， $A B = A C = A A^{'} = 2$ ， $A B ⊥ A C$ ， D为线段 $A^{'} C$ 的中点，则点D到平面 $B C C^{^{'}} B^{^{'}}$ 的距离为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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7. 游泳是提高心肺功能最好的运动之一，某校大约有30%的学生肺活量达到良好等级，该校大约有20%的学生每周游泳时间超过3小时，这些人中大约有50%的人肺活量达到良好等级．现从每周游泳时间不超过3小时的学生中随机抽查一名学生，则他的肺活量达到良好等级的概率为（）

A、0.1 B、0.2 C、0.24 D、0.25

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8. 已知实数a，b满足 $e^{a + b - 2} + \frac{b - 1}{a - 1} = 0$ ，则下列关系一定不成立的是（）

A、 $a + b = 2$ B、 $a - 3 b = - 2$ C、 $a + b < 2$ D、 $a - b < - 2$

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二、多选题

9. 如图，在平行六面体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A^{'}} = \vec{c}$ ．若 $\vec{C M} = \vec{M D^{'}}$ ， $\vec{A^{'} P} = \frac{1}{2} \vec{A^{'} C}$ ，则（）

A、 $\vec{A^{'} C} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、A，P， $D^{'}$ 三点共线 D、A，P，M，D四点共面

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10. 在流行病学中，基本传染数 $R_{0}$ 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．初始感染者传染 $R_{0}$ 个人为第一轮传染，第一轮被传染的 $R_{0}$ 个人每人再传染 $R_{0}$ 个人为第二轮传染，…．假设某种传染病的基本传染数 $R_{0} = 4$ ，平均感染周期为7天，初始感染者为1人，则（）

A、第三轮被传染人数为16人 B、前三轮被传染人数累计为80人 C、每一轮被传染的人数组成一个等比数列 D、被传染人数累计达到1000人大约需要35天

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11. 在平面直角坐标系xOy中， $A (1 ， 0)$ ， $B (- 2 ， 0)$ ，点P满足 $\frac{| P A |}{| P B |} = \frac{1}{2}$ ，设点P的轨迹为C，则（）

A、C的周长为 $4 π$ B、OP平分∠APB C、 $△ A B P$ 面积的最大值为6 D、当 $A P ⊥ A B$ 时，直线BP与圆C相切

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12. 如图数表的构造思路源于杨辉三角，该表由若干行数字组成，每一行最左与最右的数字均为2，其余的数字都等于其“肩上”的数字之积．记第i行从左往右第j个数字为a， $(i ， j \in N^{*} ， j \leq i)$ ，则（）

A、 $a_{8.2} = 128$ B、 $\sum_{i}^{10} a_{i ， 2} = 2^{45}$ C、该数表中第9行的奇数项之积等于偶数项之积 D、存在j，使得 $l o g_{2} a_{63 ， j} ： l o g_{2} a_{63 ， j + 1} ： l o g_{2} a_{63 ， j + 2} = 3 ： 4 ： 5$

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三、填空题

13. 已知 $f (x) = x + s i n x$ ，且 $f^{'} (x_{0}) = 2$ ，则 $c o s x_{0} =$ ．

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14. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 0 ， 2)$ ， $\vec{b} = (1 ， 2 ， 0)$ ， $\vec{c} = (2 ， 2 ， x)$ ．若 $(\vec{a} + 3 \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ，则 $x =$ ．

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15. 已知某批零件的长度误差X（单位：毫米）近似服从正态分布 $N (0 ， 2^{2})$ ，从这批零件中随机抽取一件，则事件 ${2 < X < 4}$ 的概率为．
附：若随机变量 $ξ ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (| ξ - μ | \leq σ) \approx 0.6827$ ， $P (| ξ - μ | \leq 2 σ) \approx 0.9545$ ．

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16. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ，以原点O为圆心，C的焦距为半径的圆交x轴于A，B两点，P，Q是圆O与C在x轴上方的两个交点．若 $| A B | = 2 | P Q |$ ，则C的离心率为．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 1$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- 2 ， 4]$ 上的最大值和最小值．

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18. 设各项均为正数的数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，满足 $4 S_{n} - 1 = a_{n}^{2} + 2 a_{n}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $\frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ．

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19. 如图，在四棱锥 $A - B C D E$ 中，四边形BCDE为梯形， $B C ∥ D E$ ， $B E ⊥ D E$ ，平面 $A E D ⊥$ 平面BCDE， $A E ⊥ B D$ ．

(1)、求证： $A E ⊥$ 平面BCDE；

(2)、若 $A E = D E = B E = 2 B C = 2$ ，求平面CAB与平面DAB夹角的余弦值．

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20. 为响应“双减政策”，丰富学生课余生活，某校举办趣味知识竞答活动，每班各选派两名同学代表班级回答4道题，每道题随机分配给其中一个同学回答．小明，小红两位同学代表高二1班答题，假设每道题小明答对的概率为 $\frac{1}{2}$ ，小红答对的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，且每道题是否答对相互独立．记高二1班答对题目的数量为随机变量X．

(1)、若 $p = \frac{1}{6}$ ，求x的分布列和数学期望；

(2)、若高二1班至少答对一道题的概率不小于 $\frac{80}{81}$ ，求p的最小值．

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21. 已知函数 $f (x) = x l n x$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、当 $x \geq 1$ ， $f (x) \leq a x^{2} - a$ ，求a的取值范围．

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22. 已知点P为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 上一个动点，A、F分别为C的左顶点、左焦点．

(1)、证明： $| P F | \geq 2$ ；

(2)、设斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 的两条直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 均经过点A，且直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 与C分别交于E，G两点（E，G异于点A），若 $k_{1} + k_{2} = 1$ ，试判断直线EG是否经过定点？若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．

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