山东省青岛市市北区2021-2022学年下学期期中质量检测数学试题（一模）

试卷更新日期：2022-04-29 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列四个数中，属于有理数的是（）

A、 $\frac{1}{11}$ B、 $\sqrt[3]{15}$ C、 $π$ D、 $- \sqrt{2}$

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2. 2022年2月4日至20日，第24届冬奥会在北京和张家口举办，北京是唯一同时举办过夏季和冬季奥运会的城市．下列4个图像是四届冬奥会的部分图标，属于轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 2021年11月3日揭晓的2020年度国家自然科学奖，共评出了两项一等奖，其中一项是“有序介孔高分子和碳材料的创制应用”．有序介孔材料是上世纪90年代迅速兴起的新型纳米材料，孔径在0.000000002米～0.000000005米范围内．数据0.000000005用科学记数法可表示为（）

A、5×10^-9 B、5×10^-8 C、5×10^-7 D、0.5×10^-7

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4. 在如图各选项中，可以由左边的平面图形折成右边的封闭立体图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 下列计算正确的是（）

A、 $a + a^{2} = a^{3}$ B、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ C、 $(- 2 x^{2})^{3} = - 8 x^{6}$ D、 $(- \frac{1}{2})^{0} + 2^{- 1} = \frac{1}{2}$

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6. 如图，AB是⊙O 的直径，C、F为⊙O 上的点，AE是⊙O 的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D．若∠ADB＝50°，则∠BFC 的度数为（）

A、40° B、50° C、60° D、20°

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7. 若一元二次方程 $a x^{2} + b x + 3 = 0$ 有两个不相等的实数根，则二次函数 $y = a x^{2} + b x + 3$ 的图象与一次函数 $y = 2 a x + b$ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，AE平分∠BAD，AE与BC相交于点E，与BD相交于点F．则下列结论中正确的有（）
①OB=OE；②∠BOE=75°；③OE²=OF•OD ；④若OE=1，则EC= $\sqrt{2}$ ；⑤若△BOE的面积是矩形ABCD的面积的 $\frac{1}{6}$ ，则BC= $\frac{3}{2}$ AB ．

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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二、填空题

9. 计算： $(\sqrt{18} - \sqrt{\frac{4}{3}})$ •cos30°= ．

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10. 某大型商场为了吸引顾客，规定凡在本商场一次性消费100元的顾客可以参加一次摇奖活动，摇奖规则如下：一个不透明的纸箱里装有1个红球、2个黄球、5个绿球、12个白球，所有除颜色外完全相同．充分摇匀后，从中随机抽取出一球，若取出的球分别是红、黄、绿球，顾客将分别获得50元、25元、20元现金，若取出白球则没有奖．若某位顾客有机会参加摇奖活动，则他每参与一次的平均收益为元．

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11. 若一个圆内接正六边形的边长是4cm，则这个正六边形的边心距=cm．

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12. 高铁为居民出行提供了便利，从铁路沿线相距360公里的甲地到乙地，乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用3小时．已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的3倍，设普通列车的平均速度为x公里/小时，则根据题意可得方程．

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13. 如图，正比例函数y=kx与反比例函数y= $\frac{6}{x}$ 的图象有一个交点A(2，m)，AB⊥x轴于点B，平移直线y=kx使其经过点B，得到直线l，则直线l对应的函数表达式是 .

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14. 如图所示，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=4，点F位于弧AB的 $\frac{1}{3}$ 处，且靠近点A的位置．点C、D分别在线段OA、OB上，CD=4，E为CD的中点，连接EF、BE．在CD滑动过程中（CD长度始终保持不变），当EF取最小值时，阴影部分的面积为．

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三、解答题

15. 如图是一张形状为四分之一圆的纸片，要在纸片上裁剪出一个尽可能大的正方形，请你在图中做出这个正方形．

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16. 计算

(1)、化简： $(\frac{1}{a + 1} - \frac{a - 3}{a^{2} - 1}) \div \frac{2}{a + 1}$ ；

(2)、解不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x + 5 \leq 3 (x + 2) \\ \frac{x - 1}{2} < \frac{x}{3} \end{array}$ ．

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17. 某校组建了射击兴趣小组，甲、乙两人连续8次射击成绩如下列图、表所示（统计图中乙的第8次射击成绩缺失）．
甲、乙两人连续射击8次成绩统计表

平均成绩（环）
中位数（环）
方差（环²）
甲
7.5
乙
6
3.5

(1)、乙的第8次射击成绩是环；

(2)、补全统计图；

(3)、如果你是教练，要从甲、乙两人中选一位参加比赛，你会选择谁？写出你这样选择的2条理由．

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18. 小亮是个集邮爱好者，他收集了如图所示的四张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同），现将四张邮票背面朝上，洗匀放好

(1)、小亮从中随机抽取一张邮票是“冬奥会吉祥物冰墩墩”的概率是

(2)、小亮从中随机抽取一张邮票（不放回），再从余下的邮票中随机抽取一张，求抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”和“冬奥会吉祥物冰墩墩”的概率．（这四张邮票从左到右依次分别用字母A、B、C、D表示）

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19. 矗立在高速公路水平地面上的交通示警牌如图所示，测量得到如下数据：∠B=90°，∠BDC=72°，∠E=35°，CD=2.8米，BE=7.5米．求线段AC的长．（结果精确到0.1米）
（参考数据：sin35° $\approx \frac{14}{25}$ ， cos35° $\approx \frac{4}{5}$ ， tan35° $\approx \frac{7}{10}$ ， sin72° $\approx \frac{19}{20}$ ， cos72° $\approx \frac{3}{10}$ ， tan72° $\approx \frac{19}{6}$ ）

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20. 崂山茶是青岛的特产之一，某崂山茶企业为了扩大生产规模，计划投入一笔资金购进甲、乙两种设备．已知购进2件甲设备和1件乙设备共需3.5万元；购进1件甲设备和3件乙设备共需3万元．

(1)、求购进1件甲设备和1件乙设备分别需要多少万元；

(2)、如果扩大规模后，在一个季度内，每件甲设备能为企业增加0.5万元利润，每件乙设备能为企业增加0.2万元利润．该企业计划购进甲、乙两种设备共10件，且投入资金不超过12万元，求应该如何采购甲、乙两种设备，才能使企业这个季度的利润最大？

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21. 如图，延长平行四边形ABCD的边AD到F，使DF=AD，连接BF，交DC于点E，延长CD至点G，使DG=DE，分别连接AE、AG、FG．

(1)、求证：△BCE≌△FDE；

(2)、当平行四边形ABCD的边或角满足什么条件时，四边形AEFG是菱形？证明你的结论．

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22. 手榴弹作为一种威力较大，体积较小，方便携带的武器，在战争中能发挥重要作用，然而想把手榴弹扔远，并不是一件容易的事．军训中，借助小山坡的有利地势，小刚在教官的指导下用模拟弹进行一次试投：如图所示，把小刚投出的手榴弹的运动路线看做一条抛物线，手榴弹飞行的最大高度为12米，此时它的水平飞行距离为6米，山坡OA的坡度为1：3．

(1)、求这条抛物线的表达式；

(2)、山坡上A处的水平距离OE为9米，A处有一棵树，树高5米，则小刚投出的手榴弹能否越过这棵树？请说明理由；

(3)、求飞行的过程中手榴弹离山坡的最大高度是多少米．

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23. 定义：

如果一个正整数n能表示为两个正整数的平方差，那么称正整数n为“智慧数”，即：若正整数n=a²-b²（a，b为正整数，且a＞b），则称正整数n为“智慧数”．例如：∵5=3²-2² ， ∴5是“智慧数”．根据定义，直接写出最小的“智慧数”是．

提出问题：

如果按照从小到大的顺序排列起来，那么第2022个“智慧数”是哪位数？

探究问题：

要解答这个问题，我们先要明白“智慧数”产生的规律．

探究1：“智慧数”一定是什么数？

假设n是“智慧数”，则至少存在一组正整数a、b，使n=a²-b²（a，b为正整数，且a＞b）．

情况1：a、b均为奇数，或均为偶数．

分析：

∵a、b均为奇数，或均为偶数

∴（a+b）、（a-b）均为偶数

此时不妨设（a+b）=2c，（a-b）=2d

又∵n=a²-b²=（a+b）（a-b）=4cd

∴a²-b²为4的倍数，即n为4的倍数．

情况2：a、b为一奇数、一偶数．

分析：

∵a、b为一奇数、一偶数

∴（a+b）、（a-b）均为奇数

此时不妨设（a+b）=2c $\pm$ 1，（a-b）=2d $\pm$ 1

又∵n=a²-b²=（a+b）（a-b）=4cd $\pm$ 2c $\pm$ 2d $\pm$ 1

∴a²-b²为奇数，即n为奇数．

综上所述：“智慧数”为奇数或4的倍数．

探究2：所有奇数和4的倍数都一定“智慧数”吗？

我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论．

先举例几组数值较小，容易验证的“智慧数”（①--⑧），因为“智慧数”不是奇数就是4的倍数，所以我们把这“智慧数”分成两类．

情况1：n是奇数
	分析n=a²-b²	结论
①	$3 = 2^{2} - 1^{2}$	3是“智慧数”
②	$5 = 3^{2} - 2^{2}$	5是“智慧数”
③	$7 = 4^{2} - 3^{2}$	7是“智慧数”
④	$9 = 5^{2} - 4^{2}$	9是“智慧数”
……	……	……
情况2：n是4的倍数
	分析n=a²-b²	结论
⑤	$8 = 3^{2} - 1^{2}$	8是“智慧数”
⑥	$12 = 4^{2} - 2^{2}$	12是“智慧数”
⑦	$16 = 5^{2} - 3^{2}$	16是“智慧数”
⑧	$20 = 6^{2} - 4^{2}$	20是“智慧数”
……	……	……

情况1：n是奇数

观察①②③④中n、a、b的值，容易发现，每个算式中，n均是奇数，且a、b的值均为连续的正整数．

猜想：所有奇数都是“智慧数”．

验证：设a=k+1，b=k（k≥1，且k为整数）

∵a²-b²=（k+1）²-k²=2k+1

∴2k+1是“智慧数”

又∵k≥1

∴2k+1≥3，即2k+1表示所有奇数（1除外）

∴所有奇数（1除外）都是“智慧数”

应用：

请直接填空：∵11= 2-2 ∴11是“智慧数”

情况2：n是4的倍数．

观察⑤⑥⑦⑧中n、a、b的值，容易发现，每个算式中，n均是4的倍数，且a、b的差都为2．

猜想：所有4的倍数都是“智慧数”．

验证：设a=k+2，b=k（k≥1，且k为整数）

∵a²-b²=（k+2）²-k²=4k+4

∴4k+4是“智慧数”

又∵k≥1

∴4k+4≥8，即4k+4表示所有4的倍数（4除外）

∴所有4的倍数（4除外）都是“智慧数”

应用：

请直接填空：∵24= 2- 2 ∴24“智慧数”

归纳“智慧数”的发现模型：

⑴对所有的正整数而言，除了1和4之外，其余的奇数以及4的倍数是智慧数．

⑵当1≤n≤4时，只有1个“智慧数”；

当n≥5时，如果把从5开始的正整数按照从小到大的顺序，依次每个连续正整数分成一组（注：组与组之间的数字互不重复），则每组有个“智慧数”，且第个数不是“智慧数”．

问题解决：

直接写出：如果按照从小到大的顺序排列起来，那么第2022个“智慧数”是．

实际应用：

若一个直角三角形纸片三边的长度都是整数厘米，已知一条直角边长是12cm，则这个直角三角形纸片的周长最大是cm．

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24. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=9，点D为边AB的中点．点P从点A出发，沿AC方向以每秒1个单位的速度向终点C运动；同时点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度沿CB方向运动，以DP、DQ为邻边构造平行四边形PEQD．设点P运动的时间为t秒， $0 < t < \frac{9}{2}$ ．

(1)、求当t为何值时， $D Q / / A C$ ？

(2)、设平行四边形PEQD的面积为S（ $S > 0$ ），求S关于t之间的函数关系式；

(3)、连接CD，是否存在某一时刻t，CD经过平行四边形PEQD的对称中心O？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

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	平均成绩（环）	中位数（环）	方差（环²）
甲		7.5
乙	6		3.5