安徽省宿州市泗县2021-2022学年九年级下学期期中数学试题（一模）

试卷更新日期：2022-04-29 类型：中考模拟

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一、单选题

1. -2的相反数是（）

A、2 B、-2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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2. 第七次全国人口普查数据显示，全国人口共141178万人，比第六次人口普查增加7206万人．数据“7206万”用科学记数法表示正确的是（）

A、 $0.7206 \times 1 0^{8}$ B、 $7.206 \times 1 0^{6}$ C、 $7.206 \times 1 0^{7}$ D、 $72.06 \times 1 0^{7}$

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $2 a - a = 2$ B、 ${(a - 1)}^{2} = a^{2} - 1$ C、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ D、 ${(2 a^{3})}^{2} = 4 a^{6}$

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4. 一个正方形的面积是20，通过估算，它的边长在整数 $n$ 与 $n + 1$ 之间，则 $n$ 的值是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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5. 如图，直线 $a ∥ b$ ，将一个三角板的直角顶点放在直线 $b$ 上，若 $∠ 1 = 50 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数是（）

A、 $50 °$ B、 $45 °$ C、 $40 °$ D、 $30 °$

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6. 据统计，某班7个学习小组上周参加“青年大学习”的人数分别为5，6，7，6，5，6，7．下列说法正确的是（）

A、该组数据的中位数是6 B、该组数据的众数是7 C、该组数据的平均数是6.5 D、该组数据的方差是6

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7. 在平面直角坐标系中，若将一次函数 $y = 2 x + m - 1$ 的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（）

A、-5 B、5 C、-6 D、6

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8. 若方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 没有实数根，则 $m$ 的值可以是（）

A、-1 B、 $0$ C、1 D、 $\sqrt{3}$

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9. 已知 $a ， b$ 为实数，且满足 $a b > 0 ， a + b - 2 = 0$ ，当a-b为整数时，ab的值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ 或 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ 或1 C、 $\frac{3}{4}$ 或1 D、 $\frac{1}{4}$ 或 $\frac{3}{4}$

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10. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 12$ ， $A D = 7$ ，点 $P$ 在 $A D$ 上，点 $Q$ 在 $B C$ 上，且 $A P = C Q$ ，连接 $C P$ ， $Q D$ ，则 $P C + Q D$ 的最小值为（）

A、25 B、24 C、 $\sqrt{193}$ D、13

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二、填空题

11. 计算： $\sqrt{9} - (- 2)^{0} =$ ．

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12. 如图， $Δ A B C$ 内接于⊙O， $∠ B A C = 30 ° ， B C = 6$ ，则⊙O的直径等于．

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13. 疫情期间，泗县各校都设置测温通道，体温正常才可进入学校，泗县某校有2个测温通道，学生可随机选取其中的一个通道测温进入校园．某日早晨小王和小李两同学进校园时，选择同一通道测温进校园的概率是．

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14. 在平在直角坐标系中，已知抛物线 $y_{1} = a x^{2} + 3 a x - 4 a$ （a是常数，且 $a < 0$ ），直线 $A B$ 过点 $(0 ， n) (- 5 < n < 5)$ 且垂直于y轴．

(1)、该抛物线顶点的纵坐标为（用含a的代数式表示）；

(2)、当 $a = - 1$ 时，沿直线 $A B$ 将该抛物线在直线上方的部分翻折，其余部分不变，得到新图象G，图象G对应的函数记为 $y_{2}$ ，且当 $- 5 \leq x \leq 2$ 时，函数 $y_{2}$ 的最大值与最小值之差小于7，则n的取值范围为：．

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三、解答题

15. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 1 - 2 x \leq 3 ① \\ \frac{3 x - 2}{4} < 1 ② \end{array}$ 并在数轴上表示它的解集．

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16. 如图，在 $R t △ A B C$ 中，∠B＝90°， $c o s ∠ A = \frac{5}{7}$ ，若AB＝10，求BC的长．

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17. 《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：
今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？
译文为：
现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？
请解答上述问题．

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18. 观察以下等式：
第1个等式：2²﹣1²＝2×1+1，
第2个等式：3²﹣2²＝2×2+1，
第3个等式：4²﹣3²＝2×3+1，
第4个等式：5²﹣4²＝2×4+1，
…
按照以上规律，解决下列问题：

(1)、写出第5个等式：．

(2)、写出你猜想的第n个等式： ▲ （用含n的等式表示），并证明．

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19. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = k x + b$ 和反比例函数 $y = - \frac{6}{x}$ 的图象都经过点 $A$ $(3 ， m)$ ， $B (n ， - 3)$ ．

(1)、求 $n$ 的值和一次函数的表达式；

(2)、不等式 $k x + b \geq - \frac{6}{x}$ 的解集是．

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20. 由中宣部建设的“学习强国”学习平台正式上线，这是推动习近平新时代中国特色社会主义思想，推进马克思主义学习型政党和学习型社会建设的创新举措．某基层党组织对党员的某天的学习成绩进行了整理，分成5个小组（

x

表示成绩，单位：分，且

10 ≤ x < 70

），根据学习积分绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图，其中第2、第5两组测试成绩人数直方图的高度比为4：1，请结合下列图表中相关数据回答下列问题：

学习积分频数分布表
组别	成绩 $x$ 分	频数	频率
第1组	$20 \leq x < 30$	5
第2组	$30 \leq x < 40$		$b$
第3组	$40 \leq x < 50$	15	30%
第4组	$50 \leq x < 60$	10
第5组	$60 \leq x < 70$	$a$

(1)、填空：

a =

，

b =

；

(2)、补全频数分布直方图：

(3)、已知该基层党组织中甲、乙两位党员的学习积分分别为61分、65分，现在从第5组中随机选取2人介绍经验，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两人中只有1人被选中的概率．

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21. 如图， $A B$ 是半圆 $O$ 的直径， $C$ 、 $D$ 是半圆 $O$ 上不同于 $A$ 、 $B$ 的两点， $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $F$ ， $B E$ 是半圆 $O$ 所在圆的切线，与 $A C$ 的延长线相交于点 $E$ ．

(1)、若 $A D = B C$ ，证明： $Δ A B C ≌ Δ B A D$ ；

(2)、若 $B E = B F$ ， $∠ D A C = 29 °$ ，求 $∠ E A B$ 的度数．

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22. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 6$ 经过两点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ ， $C$ 是抛物线与 $y$ 轴的交点．

(1)、求抛物线的解析式和 $C$ 点坐标；

(2)、点 $P (m ， n)$ 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设 $Δ P B C$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 关于 $m$ 的函数表达式（指出自变量 $m$ 的取值范围）和 $S$ 的最大值．

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23. 【证明体验】

(1)、如图①，在 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 中， $∠ B A C = ∠ D A E$ ， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ，连接 $B D$ ， $C E$ ．
求证： $B D = C E$ ；

(2)、【思考探究】如图②，在①的条件下，若 $A B = 4$ ， $B C = 3$ ， $∠ A B D = 90 °$ ， $B D = D E$ ，求 $C E$ 的长；

(3)、【拓展延伸】如图③，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A C$ ， $B C = 4$ ， $C D = 8$ ， $B D = 10$ ， $∠ B A C = 2 ∠ A D C$ ，求 $\frac{A B}{A D}$ 的值．

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