山西省大同市云州区2022年中考素养训练（五）（一模）数学试题

试卷更新日期：2022-04-29 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 计算 $- 3 - 5$ 的结果是（）

A、－2 B、2 C、－8 D、15

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2. 如图，一副三角板放在直线 $l$ 上， $∠ A B C = ∠ D F E = 90 °$ ， $∠ A C B = 45 °$ ， $∠ E = 60 °$ ，点 $B$ ， $C$ 和点 $F$ 在直线 $l$ 上， $D E ∥ B F$ ，则 $∠ C D F$ 的度数是（）

A、 $10 °$ B、 $15 °$ C、 $20 °$ D、 $25 °$

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3. 下列运算正确的是（）

A、 ${(- 3 a^{2} b^{3})}^{3} = - 9 a^{6} b^{9}$ B、 $(- 12 m^{3} n^{2}) \div (\frac{1}{2} m n^{2}) = - 6 m^{2} n$ C、 $(3 a^{2} b^{3}) \cdot 4 a = 12 a^{3} b^{3}$ D、 $3 a^{3} + 4 a^{4} = 7 a^{7}$

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4. 在研究立体图形的展开图时，下面是四位同学画出的某些立体图形的展开图，根据画出的图形可知，其中是三棱柱的展开图的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 2022年杭州亚运会以“中国新时代·杭州新亚运”为定位．“中国风范、浙江特色、杭州韵味、共建共享”为目标，秉持“绿色、智能、节俭、文明”的办会理念，坚持“以杭州为主，全省共享”的办赛原则，高质量推进亚运会筹办工作，某校对亚运知识进行了相关普及，学生会为了了解学生掌握情况，从中抽取50名学生的成绩，列表如下：

分数（分）	90	92	94	96	98	100
人数（人）	2	4	10	8	15	11

根据表格提供的信息可知，这组数据的众数与中位数分别是（）

A、100分，95分 B、98分，95分 C、98分，98分 D、97分，98分

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6. 不等式 $\frac{2 x - 3}{3} > \frac{3 x + 1}{6} - 1$ 的解集表示在数轴上，其中正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，连接 $O B$ ， $O D$ ．当四边形 $O B C D$ 是菱形时，则 $∠ O B A + ∠ O D A$ 的度数是（）

A、 $65 °$ B、 $60 °$ C、 $55 °$ D、 $50 °$

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8. 某工程队经过招标，中标200千米的修路任务，但在实际开工时……，求实际每天修路多少千米？在这个题目中，若设实际每天修路 $x$ 千米，可得方程 $\frac{200}{x - 5} - \frac{200}{x} = 10$ ．则题目中用“……”表示的条件应是（）

A、每天比原计划多修5千米的路，结果延期10天完成 B、每天比原计划少修5千米的路，结果提前10天完成 C、每天比原计划少修5千米的路，结果延期10天完成 D、每天比原计划多修5千米的路，结果提前10天完成

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9. 如图，一次函数 $y_{1} = k x + b$ 与反比例函数 $y_{2} = \frac{m}{x}$ 相交于点 $A (a ， 2)$ 和 $B (- 4 ， - 3)$ ，当 $\frac{m}{x} > k x + b$ 时，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x < - 4$ 或 $0 < x < 6$ B、 $x < - 3$ 或 $0 < x < 6$ C、 $- 3 < x < 0$ 或 $x > 6$ D、 $- 4 < x < 0$ 或 $x > 6$

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B < A C$ ， $∠ C = 45 °$ ， $A B = 5$ ， $B C = 4 \sqrt{2}$ ，点 $D$ 在 $A C$ 上运动，连接 $B D$ ，把 $△ B C D$ 沿 $B D$ 折叠得到 $△ B C^{'} D$ ， $B C$ 交 $A C$ 于点 $E$ ， $C^{'} D ∥ A B$ ，则图中阴影部分的面积是（）

A、 $\frac{7}{8}$ B、 $\frac{12}{7}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{20}{7}$

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二、填空题

11. 因式分解： $a^{3} b - a b =$ ．

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12. 2022年北京冬奥会圆满结束，以吉祥物“冰墩墩”为主要元素的纪念币也受到市民的热烈欢迎，小明与小红用纪念币有规律地摆出如图所示的图案，其中，第1个图案有5枚纪念币，第2个图案有11枚纪念币，第3个图案有17枚纪念币……，按此规律摆下去，第 $n$ 个图案有枚纪念币（用含 $n$ 的代数式表示）．

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13. 将二次函数 $y = x^{2} + 2$ 的图象沿 $x$ 轴向左平移3个单位长度，再沿 $y$ 轴向下平移4个单位长度，所得图象的对应表达式用一般式表示为．

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14. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为3，连接对角线 $B D$ ，以点 $B$ 为圆心，任意长为半径画弧交 $B D$ 于点 $N$ ，与 $B C$ 交于点 $M$ ，分别以点 $M$ 和 $N$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 为半径作弧，两弧交于点 $G$ ，作射线 $B G$ 交 $A D$ 的延长线于点 $E$ ．过点 $B$ 作 $B E$ 的垂线交 $D A$ 的延长线于点 $F$ ，则 $E F$ 的长为．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $A C < B C$ ，在 $∠ C A B$ 的内部作 $∠ B A D = 45 °$ 交边 $B C$ 于点 $D$ ， $C D = 3$ ，则 $△ A B C$ 的面积是．

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三、解答题

16.

(1)、计算： ${(\frac{1}{2})}^{0} + (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{2} - \sqrt{8} \times \sqrt{3}$ ．

(2)、下面是小明同学化简分式 $\frac{2}{x^{2} - 1} - \frac{1}{x - 1}$ 的过程，请认真阅读并完成相应任务：
解：原式 $= \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{x - 1}$ ……第一步
$= \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$ ……第二步
$= \frac{2 - x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$ ……第三步
$= \frac{3 - x}{(x + 1) (x - 1)}$ ……第四步
任务一：填空：
①以上化简步骤中，第      ▲ 步是进行分式的通分，通分的依据是      ▲ ；
②第      ▲ 步开始出现错误；
任务二：请写出正确的解答过程．

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17. 春节期间，小明帮妈妈在小区里开的生活超市销售年货．其中，有一种有机蔬菜进价是38元，加价35%作为标价．小明的妈妈告诉小明这种有机蔬菜按利润率8%销售，小明销售这种蔬菜应打几折？

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18. 如图1是太原市新换的一批新能源公交车，图2，图3分别是该公交车双开门关闭、打开时的俯视示意图． $M E$ 、 $E F$ 、 $F N$ 是门轴的滑动轨道， $∠ E = ∠ F = 90 °$ ，两门 $A B$ ， $C D$ 的门轴 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 都在涓动轨道上，两门关闭时（图2）， $A$ ， $D$ 分别在 $E$ ， $F$ 处，门缝忽略不计（即 $B$ ， $C$ 重合），两门同时开启，点 $A$ ， $D$ 分别沿 $E \to M$ ， $F \to N$ 的方向同时匀速滑动（如图3），当 $B$ 到达 $E$ 时， $C$ 恰好到达 $F$ ，此时两门完全开启，在门开启的过程中， $B C = E B + C F$ 时，求 $∠ A B E$ 的度数．

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19. 在“双减”和“双增”的政策下，某校七年级开设了五门手工课，按照类别分别为： $A$ ．剪纸； $B$ ．沙画； $C$ ．雕刻； $D$ ．泥塑； $E$ ．插花，每个学生仅限选择一项，为了了解学生对每种手工课的喜爱程度，随机抽取了七年级部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的信息，解答下列问题：

(1)、本次共调查了名学生；扇形统计图中 $m =$ ，类别 $A$ 所对应的扇形圆心角的度数是度；

(2)、请根据以上信息直接补全条形统计图；

(3)、在学期结束时，从开设的五门手工课中各选出一名学生谈感悟，由于这五名同学采用随机抽签的方式确定顺序，请用树状图或列表的方式说明剪纸（ $A$ ）和雕刻（ $C$ ）两人排在前两位谈感受的概率．

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20. 如图， $A B$ 是半圆的直径，圆心是 $O$ ，点 $C$ 在半圆上，连接 $B C$ ，作弦 $D C = B C$ ，连接 $A D$ ．过点 $C$ 作半圆的切线分别交 $A B$ ， $A D$ 的延长线于点 $E$ 、 $F$ ．

(1)、求证： $A F ⊥ E F$ ；

(2)、若 $c o s A = \frac{4}{5}$ ， $B E = 1$ ．求弦 $A D$ 的长．

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21. 数学是一个不断思考，不断发现，不断归纳的过程，古希腊数学家帕普斯（Pappus，约300﹣350）把 $∠ A O B$ 三等分的操作如下：
①以点 $O$ 为坐标原点， $O B$ 所在的直线为 $x$ 轴建立平面直角坐标系；
②在平面直角坐标系中，绘制反比例函数 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 的图象，图象与 $∠ A O B$ 的边 $O A$ 交于点 $C$ ；
③以点 $C$ 为圆心， $2 O C$ 为半径作弧，交函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图象于点 $D$ ；
④分别过点 $C$ 和 $D$ 作 $x$ 轴和 $y$ 轴的平行线，两线交于点 $E$ ， $M$ ；
⑤作射线 $O E$ ，交 $C D$ 于点 $N$ ，得到 $∠ E O B$ ．

(1)、任务一：判断四边形 $C E D M$ 的形状，并证明；

(2)、任务二：请证明 $∠ E O B = \frac{1}{3} ∠ A O B$ ．

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22. 综合与探究
问题情境：
数学实践课上，老师要求同学们先制作一个透明的菱形塑料板，然后在纸上画一个与透明的菱形相似的菱形 $A E F G$ ，把透明的菱形放在上面记作菱形 $A B C D$ ，它们的锐角顶点 $A$ 重合，且 $∠ B A D = ∠ E A G$ ，连接 $B E$ ， $D G$ ．

(1)、操作发现：
如图1，当边 $A D$ 在边 $A E$ 所在的射线上，直接写出 $B E$ 与 $D G$ 的数量关系：

(2)、探究发现：
如图2，将菱形 $A B C D$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转，使点 $D$ 落在 $E F$ 边上，连接 $B E$ 和 $D G$ ．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

(3)、探究拓广：
如图3，在（2）的条件下，当 $∠ B A D = ∠ E A G = 90 °$ 时，探究并说明线段 $B E$ 和 $D G$ 的数量关系和位置关系．

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23. 综合与实践
如图，二次函数 $y = \frac{3}{4} x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A$ 和 $B$ ，点 $B$ 的坐标是 $(4 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0 ， - 3)$ ，点 $D$ 在抛物线上运动．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、如图2，当点 $D$ 在第四象限的抛物线上运动时，连接 $B D$ ， $C D$ ， $B C$ ，当 $△ B C D$ 的面积最大时，求点 $D$ 的坐标及 $△ B C D$ 的最大面积；

(3)、当点 $E$ 在 $x$ 轴上运动时，借助图1探究以点 $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 为顶点的四边形是平行四边形，并直接写出点 $E$ 的坐标．

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