山东省青岛市崂山区2022年九年级数学一模试题

试卷更新日期：2022-04-29 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列四个数字，相反数最大的是（）

A、4 B、-4 C、 $\frac{1}{4}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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2. 下列四个图形，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 2021年崂山区经济高质量发展势头强劲，区级一般公共预算收入200.2亿元，同比增长23.7%，这是崂山区一般公共预算收入首次跨越200亿大关，10年来首次实现20%以上的递增．“200.2亿”用科学记数法可表示为（）

A、2.002×10¹⁰ B、2.002×10⁹ C、0.2002×10¹⁰ D、2002×10⁸

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4. 下列立体图形中．主视图是圆的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，将△ABC 绕点P按逆时针方向旋转45°，得到△A′B′C′，则点C的对应点C′的坐标是（）

A、（1，2） B、（1， $\sqrt{2}$ +1） C、（2，1） D、（ $\sqrt{2}$ +1，1）

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6. 如图，圆内接四边形ABCD，BD是⊙O 的直径，且AC⊥BD，若∠ACD＝28°，则∠CBD 的度数为（）

A、28° B、30° C、36° D、45°

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7. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2，将△BEF沿EF所在直线翻折得到△DEF，点D为∠ABC的平分线与边AC的交点，则线段EF的长度为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{2}{3} \sqrt{3}$

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8. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分图象如图所示，对称轴方程为 $x = - 1$ ，图象与x轴相交于点（1，0），则方程 $c x^{2} + b x + a = 0$ 的根为（）

A、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = - 3$ B、 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = 3$ C、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = - \frac{1}{3}$ D、 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = \frac{1}{3}$

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二、填空题

9. 计算：2sin60°= ．

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10. 如图是气象台预报我区4月10日至4月19日每天的最高气温折线图，由图中信息可知我区这10天最高气温的中位数是℃．

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11. 一条抛物线具有以下三个性质：①开口向下；②与x轴没有交点；③对称轴在y轴右侧．请写出同时满足以上三个性质的一个二次函数的表达式．

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12. 如图所示，反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图象过正方形OABC对角线OB中点F，则B点坐标为．

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13. 如图，在正方形ABCD中，AB=4，E、F分别为边AB、BC中点，连接DE、AF相交于点G，则△AGE的面积为．

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14. 如图，在平行四边形ABCD中，AD=8，AB=4，∠BAD=60°，E为AD上一点，以点E为圆心，以ED的长为半径作弧与BC相切于点H，点F为线段AB中点，则阴影部分面积为．

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三、解答题

15. 已知：△ABC．求作：⊙O ，使圆心在边AB上，且与边AC、BC所在直线相切．

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16. 计算：

(1)、计算： $\frac{a^{2} - b^{2}}{a} \div (a - \frac{2 a b - b^{2}}{a})$ ；

(2)、解不等式组： ${\begin{array}{l} 3 - 4 x \geq - 5 \\ \frac{4}{3} x + 1 < 2 x \end{array}$ ．

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17. 2022年北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”与“雪容融”，现有吉祥物“冰墩墩”与“雪容融”各一份给小明与小华．两人都想要“冰墩墩”，现用如图所示A、B两个转盘进行配色游戏，A盘是四等分，B盘是三等分，其中一个转出红色另一个转出蓝色即可配成紫色．分别转动两个转盘（指针指向分界线则重新转动转盘），配色是紫色时将“冰墩墩”给小明，否则就给小华．请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平．

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18. 如图，某数学活动小组进行综合实践活动测量学校旗杆AB的高度，从旗杆正前方 $2 \sqrt{3}$ 米处的点C出发，沿斜面坡度i=1： $\sqrt{3}$ 的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶端A的仰角为37°，仪器的高DE为1.5米．已知点A、B、C、D、E、M在同一平面内，∠DCM=30°，AB⊥BC，AB//DE．求旗杆AB的高度．
（参考数据：sin37° $\approx \frac{3}{5}$ ， cos37° $\approx \frac{4}{5}$ ， tan37° $\approx \frac{3}{4}$ ，计算结果保留根号）

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19. 某校抽取部分学生参加“森林防火”知识竞赛，按成绩分为A、B、C、D、E五个等级，并绘制了如下条形统计图和扇形统计图．
请根据图中信息解答下列问题：

(1)、补全频数条形图；

(2)、求出扇形统计图中的百分比a、b；

(3)、参加抽样的学生占全校学生的16%，请估计全校学生的总数．

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20. A、B两地相距19.2km，甲、乙两人相向而行，两人的运动速度保持不变。甲从A地向B地出发，当甲运动一段时间后，乙从B地向A地出发，甲、乙两人同时运动时他们之间的距离y（km）与乙运动时间t（h）满足一次函数关系式，其图象如图所示．

(1)、根据图像求y与t的函数关系式，并求出两人的速度和；

(2)、已知甲由A地运动到B地所用时间是乙由B地运动到A地所用时间的 $\frac{6}{5}$ 倍．求甲由A地运动到B地所用时间是多少小时？

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21. 如图，正方形ABCD，点P在边BC的延长线上，连接AP交BD于点F，过点C作CG//AP交BD于点G，连接AG、CF．

(1)、求证：△ADF≌△CBG；

(2)、判断四边形AGCF是什么特殊四边形？请说明理由．

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22. 某市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元．（毛利润＝销售额﹣生产费用）

(1)、请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式；

(2)、求w与x之间的函数关系式；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？

(3)、由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润？

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23. 实际问题：
各边长都是整数，最大边长为31的三角形有多少个？
问题建模：为解决上面的数学问题，我们先研究下面的数学模型。
在1～n这n个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于n，有多少种不同的取法？
为了找到解决问题的方法，我们把上面数学模型简单化．
探究一：
在1～4这4个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于4，有多少种不同的取法？
第一步：在1～4这4个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于4，根据题意，有下列取法：1+4，2+3，2+4，3+2，3+4，4+1，4+2，4+3；而1+4与4+1，2+3与3+2，…是同一种取法，所有上述每一种取法都重复过一次，因此共有 $\frac{1 + 2 + 2 + 3}{4} = 4 = \frac{4^{2}}{4}$ 种不同的取法．
第二步：在1～4这4个自然数中，每次取两个相同的数，使得所取的两个数之和大于4，有下列取法：3+3，4+4，因此有2种不同的取法．
综上所述，在1～4这4个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于4，有 $\frac{4^{2}}{4} + 2$ 种不同的取法．
探究二：
在1～5这5个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于5，有多少种不同的取法？
第一步：在1～5这5个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于5，根据题意，有下列取法：1+5，2+4，2+5，3+4，3+5，4+2，4+3，4+5，5+1，5+2，5+3，5+4；而1+5与5+1，2+4与4+2，…是同一种取法，所有上述每一种取法都重复过一次，因此共有 $\frac{1 + 2 + 2 + 3 + 4}{4} = 6 = \frac{5^{2} - 1}{4}$ 种不同的取法．
第二步：在1～5这5个自然数中，每次取两个相同的数，使得所取的两个数之和大于5，有下列取法：3+3，4+4，5+5因此有3种不同的取法．
综上所述，在1～5这5个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于5，有 $\frac{5^{2} - 1}{4} + 3$ 种不同的取法．
探究三：
在1～6这6个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于6，有多少种不同的取法？（仿照探究二写出探究过程）
探究四：
在1～7这7个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于7，有      ▲ 种不同的取法．
探究五：
在1～n（n为偶数）这n个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于n，有      ▲ 种不同的取法．
探究六：
在1～n（n为奇数）这n个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于n，有      ▲ 种不同的取法．
问题解决：
①各边长都是整数，最大边长为20的三角形有      ▲ 个；
②各边长都是整数，最大边长为31的三角形有      ▲ 个．

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24. 如图，正方形ABCD，AB=4cm，点P在线段BC的延长线上．点P从点C出发，沿BC方向运动，速度为2cm/s；点Q从点A出发，沿AB方向运动，速度为1cm/s．连接PQ，PQ分别与BD、CD相交于点E、F．设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．
解答下列问题：

(1)、线段CF长为多少时，点F为线段PQ中点？

(2)、当t为何值时，点E在对角线BD中点上？

(3)、当PQ中点在∠DCP平分线上时，求t的值；

(4)、设四边形BCFE的面积为S（ $c m^{2}$ ），求S与t的函数关系式．

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