山东省济宁市汶上县2022年中考一模数学试题

试卷更新日期：2022-04-29 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列各数中为无理数的是（）

A、0 B、－0.5 C、 $- \sqrt{2}$ D、－2

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2. 如图，直线 $a ∥ b$ ， $∠ 1 = 130 °$ ，则 $∠ 2$ 等于（）

A、 $50 °$ B、 $60 °$ C、 $70 °$ D、 $80 °$

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3. 下列运算正确的是（）

A、 ${(3 - π)}^{0} = - 1$ B、 $\sqrt{9} = \pm 3$ C、 $3^{- 1} = - 3$ D、 ${(- a^{3})}^{2} = a^{6}$

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4. 在四张反面无差别的卡片上，其正面分别印有线段、等边三角形、平行四边形和正六边形．现将四张卡片的正面朝下放置，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片正面图形都是轴对称图形的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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5. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度得到△ADE．若∠BAC =85°，∠E=70°，且AD⊥BC，则旋转角的度数为（）

A、65° B、70° C、75° D、85°

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6. 如图所示，在△ABC中，DF $∥$ AC，DE $∥$ BC，AE＝4，EC＝2，BC=8，则CF为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{16}{3}$ D、6

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7. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 x + m = 0$ 有两个相等的实数根，点 $A (x_{1} ， y_{1})$ 、 $B (x_{2} ， y_{2})$ 是反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象上的两个点，若 $x_{1} < x_{2} < 0$ ，则 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{1} < y_{2}$ B、 $y_{1} > y_{2}$ C、 $y_{1} = y_{2}$ D、不能确定

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8. 如图， $B C$ 为⊙O的直径，弦 $A D ⊥ B C$ 于点E，直线l切⊙O于点C，延长 $O D$ 交l于点F，若 $A E = 2$ ， $∠ A B C = 22.5 °$ ，则 $C F$ 的长度为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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9. 如图，抛物线 $L_{1} ： y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴只有一个公共点A（1，0），与 $y$ 轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线 $L_{2}$ ，则图中两个阴影部分的面积和为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 规定： $\sin (- x) = - \sin x ， \cos (- x) = \cos x ， \cos (x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$ 给出以下四个结论：（1） $\sin (- 30 °) = - \frac{1}{2}$ ；（2） $\cos 2 x = \cos^{2} x - \sin^{2} x$ ；（3） $\cos (x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$ ；（4） $\cos 15 ° = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 其中正确的结论的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

11. 第七次全国人口普查数据显示，山东省常住人口约为10152.7万人，将10152.7万用科学记数法（精确到十万位）可表示为．

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12. 分解因式： $4 a x^{2} - 4 a y^{2} =$ .

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D是边BC上的一点．若 $A B = A D = D C$ ， $∠ B A D = 44 °$ ，则∠C的大小为．

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14. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O ， A H ⊥ B C$ 于点H，若 $A C = 10 ， A H = 8$ ， $⊙ O$ 的半径为7，则AB= ．

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15. 如图，直线 $A B$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，且 $A B = B C$ ，连接OA.已知 $△ O A C$ 的面积为12，则k的值为.

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三、解答题

16. 先化简，再求值： $(\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} - 1} - 1) \div \frac{x}{x + 1}$ ，其中 $x = t a n 45 °$ ．

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17. 某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级20名学生，统计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下：3；5；3；6；3；4；4；5；2；4；5；6；1；3；5；5；4；4；2；4
根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：

次数

1

2

3

4

5

6

人数

1

2

a

6

b

2

(1)、表格中的 $a =$ ， $b =$ ；

(2)、在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为，中位数为；

(3)、若该校初三年级共有300名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数．

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18. 避雷针是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置.如图，小陶同学要测量垂直于地面的大楼 $B C$ 顶部避雷针 $C D$ 的长度（ $B$ ， $C$ ， $D$ 三点共线），在水平地面 $A$ 点测得 $∠ C A B = 53 °$ ， $∠ D A B = 58 °$ ， $A$ 点与大楼底部 $B$ 点的距离 $A B = 20 m$ ，求避雷针 $C D$ 的长度.（结果精确到 $0.1 m$ .参考数据： $\sin 58 ° \approx 0.85$ ， $\cos 58 ° \approx 0.53$ ， $\tan 58 ° \approx 1.60$ ， $\sin 53 ° \approx 0.80$ ， $\cos 53 ° \approx 0.60$ ， $\tan 53 ° \approx 1.33$ ）

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19. 某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．

(1)、求该商品每次降价的百分率；

(2)、若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？

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20. 如图， $P A$ 是以 $A C$ 为直径的 $⊙ O$ 的切线，切点为点 $A$ ，过点 $A$ 作 $A B ⊥ O P$ ，垂足为点 $D$ ，交 $⊙ O$ 于点 $B$ ．

(1)、求证：PB是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A B = 6$ ， $c o s ∠ P A B = \frac{3}{5}$ ，求 $P O$ 的长．

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21. 已知正方形 $A B C D$ ， E， $F$ 为平面内两点．

(1)、【探究建模】如图1，当点E在边 $A B$ 上时， $D E ⊥ D F$ ，且B，C， $F$ 三点共线，求证： $A E = C F$ ；

(2)、【类比应用】如图2，当点E在正方形 $A B C D$ 外部时， $D E ⊥ D F$ ， $A E ⊥ E F$ ，且E，C，F三点共线，猜想并证明线段AE，CF之间的数量关系；

(3)、【拓展迁移】如图3，当点E在正方形 $A B C D$ 外部时， $A E ⊥ C E$ ， $A E ⊥ A F$ ， $D E ⊥ B E$ ，且D，F，E三点共线，DE与AB交于点 $G$ ．若 $D F = 3$ ， $A E = \sqrt{2}$ ，请直接写出DE的长．

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22. 如图1，二次函数 $y = a (x + 3) (x - 4)$ 的图象交 $x$ 轴于点 $A$ ，交 $y$ 轴于点 $B (0 ， - 2)$ ，点 $P$ 为 $x$ 轴上一动点．

(1)、求二次函数 $y = a (x + 3) (x - 4)$ 的表达式并化成一般形式；

(2)、过点 $P$ 作 $P Q ⊥ x$ 轴交线段 $A B$ 于点 $Q$ ，交抛物线于点 $C$ ，连接 $A C$ ．当 $O P = 1$ 时，求 $△ A C Q$ 的面积；

(3)、如图2，将线段 $P B$ 绕点 $P$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到线段 $P D$ ．当点D在 $x$ 轴下方的抛物线上时，求点D的坐标．

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次数	1	2	3	4	5	6
人数	1	2	a	6	b	2