山东省济宁市泗水县2022年中考一模数学试题

试卷更新日期：2022-04-29 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 在 $- \sqrt{2}$ ， $- \frac{1}{2}$ ， 0，2四个数中，最大的数是（）

A、2 B、0 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \sqrt{2}$

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2. 2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”，下列四个有关环保的图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 近年来，新冠肺炎给人类带来了巨大灾难，经科学家研究，冠状病毒多数为球形或近似球形，其直径约为0.00000011米，其中数据0.00000011用科学记数法表示正确的是（）

A、 $1.1 \times 1 0^{- 8}$ B、 $1.1 \times 1 0^{- 7}$ C、 $1.1 \times 1 0^{- 6}$ D、 $0.11 \times 1 0^{- 6}$

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{16}$ ＝±4 B、﹣ $\sqrt{64}$ ＝﹣8 C、 $\sqrt[3]{- 8}$ ＝2 D、﹣ $a \sqrt{\frac{1}{a}} = \sqrt{- a}$

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5. 现有一组数据分别是5、4、6、5、4、13、5，关于这组数据下列说法正确的是（）

A、中位数是4 B、众数是7 C、中位数和众数都是5 D、中位数和平均数都是5

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6. 《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} 5 x + 6 y = 16 \\ 5 x + y = 6 y + x \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 5 x + 6 y = 16 \\ 4 x + y = 5 y + x \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 6 x + 5 y = 16 \\ 6 x + y = 5 y + x \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 6 x + 5 y = 16 \\ 5 x + y = 4 y + x \end{array}$

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7. 如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积是（）

A、 $20 π$ B、 $18 π$ C、 $12 π$ D、 $10 π$

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8. 如图，一圆环分别与夹角为 $α$ 的两墙面相切，圆环上图示位置固定一小球，并用细线将小球与两切点分别相连，两细线夹角为 $β$ ，则 $α$ 与 $β$ 之间的关系是（）

A、 $β = 90 ° + \frac{α}{2}$ B、 $β = 90 ° + α$ C、 $β = 180 ° - \frac{α}{2}$ D、 $β = 180 ° - α$

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9. 如图中，分别是由1个、2个、 $n$ 个（ $n$ 为正整数）正方形连接成的图形，在图1中， $x = 70 °$ ；在图2中， $y = 28 °$ ；通过以上计算，请写出图3中 $a + b + c + ⋯ + d =$ ____（用含 $n$ 的式子表示）

A、 $45 ° n$ B、 $90 ° n$ C、 $135 ° n$ D、 $180 ° n$

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二、解答题

10. 某中学九年级数学兴趣小组的同学准备测量校内旗杆 $A B$ 的高度，他们在 $C$ 点测得旗杆顶端 $A$ 的仰角 $∠ B C A = 30 °$ ，向前走了30米到达 $D$ 点，在 $D$ 点测得旗杆顶端A的仰角 $∠ B D A = 60 °$ ，则旗杆 $A B$ 的高为多少米？（）

A、15米 B、 $15 \sqrt{3}$ 米 C、 $15 \sqrt{2}$ 米 D、 $15 \sqrt{5}$ 米

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11. 先化简，再求值 ${(a + b)}^{2} + (a + b) (a - b) - 2 a^{2}$ ，其 $a = 2$ ， $b = - \frac{1}{2}$ ．

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12. 为了解同学们对新冠疫情相关知识的掌握情况，增强同学们的防控意识，某校对八年级甲、乙两班各50名学生进行了新冠疫情相关知识的测试，并分别抽取了10份成绩，整理分析过程如下，请补充完整．
【收集数据】（满分100分）
甲班10名学生的测试成绩统计如下：89，85，82，85，92，80，85，77，85，80
乙班10名学生的测试成绩统计如下：86，89，83，80，80，80，84，82，93，83
【整理数据】按如下分数段整理、描述这两组样本数据组别
组别
75.5～80.5
80.5～85.5
85.5～90.5
90.5～95.5
甲
$a$
$b$
1
1
乙
3
4
2
1
请回答下列问题

(1)、在表中，a= ， b= ．

(2)、补全乙班10名学生测试成绩的频数分布直方图

(3)、若规定得分在85分及以上（含85分）为合格，请估计甲班50名学生中疫情防控相关知识合格的学生有人．

(4)、为继续宣传新冠疫苗接种的重要性，某小区物业部门准备在已经接种疫苗的居民中招募2名志愿宣传者，现有2名男性2名女性共4名居民报名．请用列表或画树状图的方法，求要从这4人中随机挑选2人，恰好抽到一名男性和一名女性的概率

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中，

(1)、求作 $∠ B A C$ 的平分线，交 $B C$ 于点 $D$ ，再作 $A D$ 的垂直平分线，分别交 $A B$ 于点 $E$ ，交 $A C$ 于点 $F$ ．连接 $D E$ ， $D F$ （保留作图痕迹，不写作法）

(2)、若 $B E = 8$ ， $E D = 4$ ， $C D = 3$ ．则 $B D$ 的长是多少？

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14. 某学校购进一批成捆的 $A$ ， $B$ 两种图书，每捆 $A$ 种图书比每捆 $B$ 种图书多10本，每捆 $A$ 种图书和每捆 $B$ 种图书的价格分别是630元和600元，而每本 $A$ 种图书和每本 $B$ 种图书的价格分别是这一批图书平均每本价格的0.9倍和1.2倍．

(1)、求这一批图书平均每本的价格是多少元？

(2)、如果购进的这批图书共550本， $A$ 种图书至多购进350本，为了使购进的这批图书的费用最低，应购进 $A$ 种图书和 $B$ 种图书各多少本？并求出最低费用．

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15. 有一张矩形纸片 $A B C D$ ， $E$ ， $F$ 分别是边 $B C$ ， $A D$ 上的点（不与顶点重合），如图所示，若 $E F$ 将矩形 $A B C D$ 分成面积相等的两部分．求证： $A F = E C$ ．

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16. 阅读资料：如图1，在平面之间坐标系 $x O y$ 中， $A$ ， $B$ 两点的坐标分别为 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ，由勾股定理得 $A B^{2} = {| x_{2} - x_{1} |}^{2} + {| y_{2} - y_{1} |}^{2}$ ，所以 $A$ ， $B$ 两点间的距离为 $A B = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$ ．我们知道，圆可以看成到圆心距离等于半径的点的集合，如图2，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (x ， y)$ 为圆上任意一点，则 $A$ 到原点的距离的平方为 $O A^{2} = {| x - 0 |}^{2} + {| y - 0 |}^{2}$ ，当 $⊙ O$ 的半径为 $r$ 时， $⊙ O$ 的方程可写为： $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ ．
问题拓展：如果圆心坐标为 $P (a ， b)$ ，半径为 $r$ ，那么 $⊙ P$ 的方程可以写为 ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ ．

综合应用：如图3， $⊙ P$ 与 $x$ 轴相切于原点 $O$ ， $P$ 点坐标为 $(0 ， 6)$ ， $A$ 是 $⊙ P$ 上一点，连接 $O A$ ，使 $t a n ∠ P O A = \frac{3}{4}$ ，作 $P D ⊥ O A$ ，垂足为 $D$ ，延长 $P D$ 交 $x$ 轴于点 $B$ ，连接 $A B$ ．

(1)、求证 $A B$ 是 $⊙ P$ 的切线；

(2)、是否存在到四点 $O$ ， $P$ ， $A$ ， $B$ 距离都相等的点 $Q$ ？若存在，求 $Q$ 点坐标，并写出以 $Q$ 为圆心，以 $O Q$ 为半径的 $⊙ O$ 的方程；若不存在，说明理由．

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17. 如图1，对称轴为直线 $x = 1$ 的抛物线经过 $B (3 ， 0)$ 、 $C (0 ， 4)$ 两点，抛物线与 $x$ 轴的另一交点为A．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若点 $P$ 为抛物线对称轴上的一点，使 $P A + P C$ 取得最小值，求点 $P$ 的坐标；

(3)、如图2，若 $M$ 是线段 $B C$ 上方抛物线上一动点，过点 $M$ 作 $M D$ 垂直于 $x$ 轴，交线段 $B C$ 于点 $D$ ，是否存在点 $M$ 使线段 $M D$ 的长度最大，如存在求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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三、填空题

18. 若式子 $\frac{1}{x - 2} + \sqrt{x}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是．

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19. 分解因式： $a^{3} - a =$ .

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20. 如果点P（x,y)的坐标满足x+y=xy，那么称点P为和谐点．请写出一个和谐点的坐标：．

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21. 如图，双曲线 $y = \frac{k}{x}$ （k≠0）与直线y＝mx（m≠0）交于A（1，2），B两点，将直线AB向下平移n个单位，平移后的直线与双曲线在第一象限的分支交于点C，连接AC并延长交x轴于点D．若点C恰好是线段AD的中点，则n的值为．

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22. 如图，已知线段 $A B = 20$ ， $C$ ， $D$ 是 $A B$ 上两点，且 $A C = D B = 4$ ， $P$ 是线段 $C D$ 上一动点，在 $A B$ 同侧分别作等边三角形 $A P E$ 和等边三角形 $P B F$ ， $G$ 为线段 $E F$ 的中点，点 $P$ 由点 $C$ 移动到点 $D$ 时，点 $G$ 移动的路径长度为．

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组别	75.5～80.5	80.5～85.5	85.5～90.5	90.5～95.5
甲	$a$	$b$	1	1
乙	3	4	2	1