安徽省安庆市2021-2022学年七年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-04-29 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列各数没有平方根的是（）

A、0 B、 ${(- 2)}^{2}$ C、 $\sqrt{9}$ D、 $- | - 5 |$

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2. 在实数 $- \frac{2}{3}$ ， 0， $\sqrt{2}$ ， π， $\sqrt{9}$ 中，无理数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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3. 估计68的立方根的大小在( )

A、2与3之间 B、3与4之间 C、4与5之间 D、5与6之间

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4. 若 $x > y$ ，则下列各式不成立的是（）

A、 $3 x > 3 y$ B、 $x + 5 > y + 5$ C、 $\frac{2}{3} x - 1 > \frac{2}{3} y - 1$ D、 $1 - x > 1 - y$

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5. 不等式组 ${\begin{array}{l} x \leq 5 \\ x > 3 \end{array}$ 的解集在数轴上表示，正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$ B、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ C、 $4 x^{2} - 3 x^{2} = 1$ D、 ${(- 2 x^{2} y)}^{3} = - 8 x^{6} y^{3}$

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7. 四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P、Q、R、S ，如图所示，则他们的体重大小关系是（）

A、P＞R＞S＞Q B、Q＞S＞P＞R C、S＞P＞Q＞R D、S＞P＞R＞Q

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8. 已知 $x^{a} = 3$ ， $x^{b} = 5$ ，则 $x^{3 a - 2 b}$ 等于（）

A、 $\frac{27}{25}$ B、 $\frac{9}{10}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、2

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9. 将 ${(\frac{1}{6})}^{- 1}$ ， ${(- 2)}^{0}$ ， ${(- 3)}^{2}$ 这三个数按从小到大的顺序排列，正确的结果是（）

A、 ${(- 2)}^{0}$ ＜ ${(\frac{1}{6})}^{- 1}$ ＜ ${(- 3)}^{2}$ B、 ${(\frac{1}{6})}^{- 1}$ ＜ ${(- 2)}^{0}$ ＜ ${(- 3)}^{2}$ C、 ${(- 3)}^{2}$ ＜ ${(- 2)}^{0}$ ＜ ${(\frac{1}{6})}^{- 1}$ D、 ${(- 2)}^{0}$ ＜ ${(- 3)}^{2}$ ＜ ${(\frac{1}{6})}^{- 1}$

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10. 如果不等式组 ${\begin{array}{l} 3 - 2 x \geq 0 \\ x \geq m \end{array}$ 有解，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m < \frac{3}{2}$ B、 $m \leq \frac{3}{2}$ C、 $m > \frac{3}{2}$ D、 $m \geq \frac{3}{2}$

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二、填空题

11. 扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一门新学科，就是“纳米技术”已知52个纳米的长度为0.000000052米，用科学记数法表示这个数为米

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12. 若 $| a + 3 | + \sqrt{b - 2} + {(m - 7)}^{2} = 0$ ，则（a+b）^m的值为．

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13. 一个正数的两个平方根分别是 $2 a + 5$ 和 $a - 1$ ，则这个正数是．

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14. 当 $k$ 时， $2 x + k = \frac{1}{3} (x - 4 k) + 6$ 的解是非正数．

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三、解答题

15. 计算： $| - 2 | + {(- \frac{1}{3})}^{- 1} \times {(π - 2)}^{0} - \sqrt{9} + {(- 1)}^{2021}$ ．

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16. 解不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{2 x - 1}{3} - \frac{5 x + 1}{2} \leq 1 \\ 5 x - 1 < 3 (x + 1) \end{array}$ ，并在数轴上表示不等式组的解集．

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17. 已知 $x^{2} - 5 x = 14$ ，求 $(x + 1) (x - 2) - (4 x^{2} - 3 x) \div x$ 的值．

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18. 已知 $A = \sqrt[m - n]{m + n + 3}$ 是 $m + n + 3$ 算术平方根， $B = \sqrt[m - 2 n + 3]{4 m + 6 n - 20}$ 是 $4 m + 6 n - 20$ 的立方根，求 $\sqrt[3]{B - A}$ 的值．

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19. 在实数范围内定义一种新运算“★”其运算规则为 $a ★ b = 2 a - \frac{3}{2} (a + b)$ ， $1 ★ 5 = 2 \times 1 - \frac{3}{2} (1 + 5) = - 7$ .

(1)、若 $x ★ 2 = 1$ ，则 $x =$ ．

(2)、求不等式 $(x ★ 2) > [(- 2) ★ (x + 4)]$ 的负整数解．

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20. 观察下列一组等式： $(a + 1) (a^{2} - a + 1) = a^{3} + 1$
$(a - 2) (a^{2} + 2 a + 4) = a^{3} - 8$
$(a + 3) (a^{2} - 3 a + 9) = a^{3} + 27$

(1)、以上这些等式中，你有何发现？利用你的发现填空．
① $(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) =$    ▲  ；
② $(2 x + 1)$ （  ） $= 8 x^{3} + 1$ ；
③（  ） $(x^{2} + x y + y^{2}) = x^{3} - y^{3}$ ．

(2)、利用你发现的规律来计算： $(a + b) (a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) (a^{2} - a b + b^{2})$ ．

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21. 阅读：我们知道， $| a | = {\begin{array}{l} a & a \geq 0 \\ - a & a < 0 \end{array}$ 于是要解不等式 $| x - 3 | \leq 4$ ，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法：
解：⑴当 $x - 3 \geq 0$ ，即 $x \geq 3$ 时： $x - 3 \leq 4$
解这个不等式，得： $x \leq 7$
由条件 $x \geq 3$ ，有： $3 \leq x \leq 7$
⑵当 $x - 3 < 0$ ，即 $x < 3$ 时， $- (x - 3) \leq 4$
解这个不等式，得： $x \geq - 1$
由条件 $x < 3$ ，有： $- 1 \leq x < 3$
∴如图，综合（1）、（2）原不等式的解为 $- 1 \leq x \leq 7$
根据以上思想，请探究完成下列2个小题：

(1)、 $| x + 1 | \leq 2$ ；

(2)、 $| x - 2 | \geq 1$ ．

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22. 如图所示，回答下列问题．

(1)、大正方形的面积 $S$ 是多少？

(2)、梯形Ⅱ，Ⅲ的面积 $S_{Ⅱ}$ ， $S_{Ⅲ}$ 分别是多少？

(3)、试求 $S_{Ⅱ} + S_{Ⅲ}$ 与 $S - S_{Ⅰ}$ 的值；

(4)、由（3）你发现了什么？请用含 $a$ ， $b$ 的式子表示你的结论．

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23. 为了保护环境，某化工厂一期工程完成后购买了3台甲型和2台乙型污水处理设备，共花费资金54万元，且每台乙型设备的价格是每台甲型设备价格的75%，实际运行中发现，每台甲型设备每月能处理污水200吨，每台乙型设备每月能处理污水160吨，且每年用于每台甲型设备的各种维护费和电费为1万元，每年用于每台乙型设备的各种维护费和电费为1.5万元.今年该厂二期工程即将完成，产生的污水将大大增加，于是该厂决定再购买甲、乙两型设备共8台用于二期工程的污水处理，预算本次购买资金不超过84万元，预计二期工程完成后每月将产生不少于1300吨污水.

(1)、请你计算每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少元？

(2)、请你求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案；

(3)、若两种设备的使用年限都为10年，请你说明在（2）的所有方案中，哪种购买方案的总费用最少？（总费用＝设备购买费＋各种维护费和电费）

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