广西百色市4月高考模拟卷（理科）

试卷更新日期：2022-04-28 类型：高考模拟

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一、单选题

1. $\frac{i^{2022}}{2 - i} =$ （）

A、 $- \frac{2 + i}{5}$ B、 $- \frac{1 + 2 i}{5}$ C、 $\frac{2 - i}{5}$ D、 $\frac{1 + 2 i}{5}$

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2. “ $a \leq 1$ ”是“ $x \in [\frac{1}{e} ， e]$ ， $(x - 1) l n x \geq a$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 在 $△ A B C$ 中， $c o s \frac{C}{2} = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$ ， $A B = 8$ ， $A C = 7$ ，则 $B C =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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4. 2022年北京冬奥会和冬残奥会给世界人民留下了深刻的印象，其吉祥物“冰墩墩”和“雪容融的设计好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合．为了弘扬奥林匹克精神，某学校安排甲、乙等5名志愿者将吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装．若甲、乙必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（）

A、8 B、10 C、12 D、14

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5. 已知函数 $f (x) = s i n 2 ω x - c o s 2 ω x + 1 (0 < ω < 1)$ ，将 $f (x)$ 的图象先向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 图象关于 $(\frac{π}{4} ， 0)$ 对称，则 $ω$ 为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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6. 如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形．去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星．设正八角星的中心为O，并且 $\overset{⇀}{O A} = \overset{⇀}{e_{1}}$ ， $\overset{⇀}{O B} = \overset{⇀}{e_{2}}$ ，若将点O到正八角是16个顶点的向量都写成 $λ \bar{e_{1}} + μ \bar{e_{2}}$ ， $λ 、 μ \in R$ 的形式，则 $λ + μ$ 的取值范围为（）

A、 $[- 2 \sqrt{2} ， 2]$ B、 $[- 2 \sqrt{2} ， 1 + \sqrt{2}]$ C、 $[- 1 - \sqrt{2} ， 1 + \sqrt{2}]$ D、 $[- 1 - \sqrt{2} ， 2]$

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7. 如图，神舟十二号的飞行轨道是以地球球心为左焦点的椭圆（图中虚线），我们把飞行轨道上的点与地球表面上的点的最近距离叫近地距离，最远距离叫远地距离.设地球半径为 $r$ ，若神舟十二号飞行轨道的近地距离是 $\frac{r}{30}$ ，远地距离是 $\frac{r}{15}$ ，则神舟十二号的飞行轨道的离心率为（）

A、 $\frac{10}{63}$ B、 $\frac{2}{63}$ C、 $\frac{1}{60}$ D、 $\frac{1}{63}$

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8. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} (- c ， 0) ， F_{2} (c ， 0)$ ，高为 $\sqrt{3} c$ 的梯形 $A F_{1} F_{2} B$ 的两顶点A，B分别在双曲线的左、右支上，且 $\vec{A F_{1}} = 4 \vec{B F_{2}}$ ，则该双曲线的离心率等于（）

A、 $\frac{6}{5}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{7}{3}$

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9. 已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧面积为 $24 \sqrt{3}$ ，若三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的各个顶点均在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为（）

A、 $16 π$ B、 $32 π$ C、 $\frac{16 \sqrt{2} π}{3}$ D、 $8 \sqrt{3} π$

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10. 已知 $x = l o g_{0.1} 7$ ， $y = l g \sqrt{7}$ ，对于命题 $p ： x + y < x y$ ； $q ： x + y > 0$ ，下列为真命题的是（）

A、 $p \land q$ B、 $p \land (\neg q)$ C、 $(\neg p) \lor q$ D、 $(\neg p) \land (\neg q)$

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11. 函数 $y = l g | x + 1 |$ 的图像的大致形状是（）

A、 B、 C、 D、

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12. 已知函数 $f (x) = 3^{x}$ 且 $f (x) = g (x) + h (x)$ ，其中 $g (x)$ 为奇函数， $h (x)$ 为偶函数．若关于x的方程 $2 a g (x) + h (2 x) = 0$ 在 $(0 ， 1]$ 上有两个解，则实数a的取值范围是（）

A、 $[- \frac{41}{24} ， - \sqrt{2}]$ B、 $[- \frac{41}{24} ， - \sqrt{2})$ C、 $(\sqrt{2} ， \frac{41}{24}]$ D、 $[\sqrt{2} ， \frac{41}{24}]$

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{1 - x} - 1 ， & x < 1 \\ l n x ， & x \geq 1 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - k (x - 1)$ 有4个零点，则实数k的取值范围为.

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14. 元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”该问题可用如图所示的程序框图来求解，则输入的x的值为.

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15. 已知 $e_{1}$ ， $e_{2}$ 分别是椭圆 $C_{1}$ 和双曲线 $C_{2}$ 的离心率， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是它们的公共焦点，M是它们的一个公共点，且 $∠ F_{1} M F_{2} = 60 °$ ，则 $\frac{1}{e_{1}} + \frac{1}{e_{2}}$ 的最大值为．

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16. 2020年底，中国科学家成功构建了76个光子的量子计算机“九章”，推动全球量子计算的前沿研究达到一个新高度.该量子计算机取名“九章”，是为了纪念中国古代著名的数学专著《九章算术》.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 为一“堑堵”， $P$ 是 $B B_{1}$ 的中点， $A A_{1} = A C = B C = 2$ ，则在过点 $P$ 且与 $A C_{1}$ 平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积等于，该“堑堵”的外接球的表面积为.

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三、解答题

17. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $Δ A B C$ 内角A，B，C的对边，若 $Δ A B C$ 同时满足下列四个条件中的三个：① $\frac{b - a}{c} = \frac{2 \sqrt{6} a + 3 c}{3 (a + b)}$ ；② $c o s 2 A + 2 c o s^{2} \frac{A}{2} = 1$ ；③ $a = \sqrt{6}$ ；④ $b = 2 \sqrt{2}$ .

(1)、满足有解三角形的序号组合有哪些？

(2)、在（1）所有组合中任选一组，并求对应 $Δ A B C$ 的面积.
（若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）

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18. 2020年开始，国家逐步推行全新的高考制度．新高考不再分文理科，采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分．为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，根据性别采用分层抽样的方法从中抽取100名学生进行调查．
附参考公式及数据： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.05
0.01
$k_{0}$
3.841
6.635

(1)、学校计划在高二上学期开设选修中的“物理”和“政治”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对抽取到的100名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的2×2列联表．请将列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；

选择“物理”
选择“政治”
总计
男生
10
女生
30
总计

(2)、在（1）的条件下，从选择“政治”的学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2 人，设这2人中男生的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望．

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19. 如图所示，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B ⊥ A D$ ， $A B = A C = A D = \sqrt{2}$ ， $B C = \sqrt{3}$ ， $C D = 1$ .

(1)、证明：平面 $A B D ⊥$ 平面BCD；

(2)、设点E在棱AD上，满足 $A E = λ A D (O < λ < 1)$ ，若二面角 $E - B C - D$ 的大小为 $\frac{π}{4}$ ，求 $λ$ 的值.

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， P为椭圆C上一点，且△ $P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为4.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过点 $F_{2}$ 作两条互相垂直的直线 $A B$ 和 $D E$ ， A，B，D，E都在椭圆C上，求 $\frac{| D E |}{| A B |}$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = (x + \frac{1}{x}) l n x$ .

(1)、求证：函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增；

(2)、若 $\frac{2 f (x) - m}{e^{m x}} \leq m$ 对 $x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立，求实数m的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 6 + \sqrt{3} t \\ y = - t \end{array}$ （t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ = 2 c o s α (0 < α < \frac{π}{2})$ .

(1)、求直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程；

(2)、若过极点O的直线 $l_{1}$ 交l于点M，交C于点N，求 $\frac{| O M |}{| O N |}$ 的最小值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 1 | + | x + 3 |$

(1)、求不等式 $f (x) \geq 6$ 的解集；

(2)、设函数 $f (x)$ 的最小值为 $m$ ，若正数 $a$ ， $b$ 满足 $2 a b = a + b + m$ ，求 $a b$ 的最小值

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	选择“物理”	选择“政治”	总计
男生		10
女生	30
总计

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.05	0.01
$k_{0}$	3.841	6.635