云南省玉溪市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-04-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | 2 \leq x < 4} ， B = {x | x - 7 \geq 8 - 4 x}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $[2 ， 3]$ B、 $[3 ， 4]$ C、 $[3 ， 4)$ D、 $(2 ， 4)$

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2. 复数 $z = i (- 3 + 4 i)$ ，则z的虚部是（）

A、4 B、-3 C、3 D、-4

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3. 已知 $f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ ，则“ $x = 3$ ”是“ $f (x) = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知 $△ A B C$ 中， $A B = \sqrt{3} ， B C = 2 ， t a n C = \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{5}$

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5. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3 ， A D = 2$ ， E为 $B C$ 的中点，则 $| \vec{A E} + \vec{B E} | =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{11}$ C、 $\sqrt{13}$ D、 $\sqrt{15}$

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6. 如图所示的铅笔模型是由正三棱柱和正三棱锥构成的，正三棱锥的底面边长和高都是1，正三棱柱的高是正三棱锥的高的20倍，则这只铅笔模型的体积是（）

A、 $5 \sqrt{3}$ B、 $\frac{16}{3} \sqrt{3}$ C、 $\frac{31}{6} \sqrt{3}$ D、 $\frac{61}{12} \sqrt{3}$

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7. 若正实数a，b满足 $a + b = a b$ ，则 $a b + a + b$ 的最小值为（）

A、2 B、4 C、8 D、16

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8. 设 $a = 4^{0.1} ， b = l o g_{3} 0.1 ， c = 0 . 5^{0.1}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $a > c > b$ D、 $b > c > a$

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9. 在三棱锥 $S - A B C$ 中，侧棱 $S A$ 与平面 $A B C$ 垂直， $S A = \sqrt{2}$ ，等腰直角三角形 $A B C$ 的斜边 $A B$ 长为2，则三棱锥 $S - A B C$ 的侧面积为（）

A、 $2 + \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2} + 1$ C、 $1 + 2 \sqrt{3}$ D、 $2 + 2 \sqrt{2}$

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10. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增，且 $f (1) = 0$ ，若实数x满足 $x f (x - \frac{1}{2}) \leq 0$ ，则x的取值范围是（）

A、 $[- \frac{1}{2} ， 0] ∪ [\frac{1}{2} ， \frac{3}{2}]$ B、 $[- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2}] ∪ [\frac{3}{2} ， + \infty)$ C、 $[- \frac{1}{2} ， 0] ∪ [\frac{1}{2} ， + \infty)$ D、 $[- \frac{3}{2} ， - \frac{1}{2}] ∪ [0 ， \frac{1}{2}]$

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二、多选题

11. 已知点O，N，P在 $△ A B C$ 所在平面内，下列说法正确的有（）

A、若 ${\vec{O A}}^{2} = {\vec{O B}}^{2} = {\vec{O C}}^{2}$ ，则O是 $△ A B C$ 的内心 B、若 $\vec{N A} + \vec{N B} + \vec{N C} = \vec{0}$ ，则 $S_{△ B N C} = S_{△ A N C} = S_{△ A N B}$ C、若 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = \vec{P B} \cdot \vec{P C} = \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ ，则P为 $△ A B C$ 的垂心 D、若 $(\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，且 $\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} \cdot \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |} = \frac{1}{2}$ ，则 $△ A B C$ 为等边三角形

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12. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为矩形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， AD=1， $P D = A B = 2$ ，点 $E$ 是PB的中点，过A，D，E三点的平面 $α$ 与平面 $P B C$ 的交线为 $l$ ，则（）

A、 $l / /$ 平面PAD B、 $A E / /$ 平面PCD C、直线 $P A$ 与 $l$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、平面 $α$ 截四棱锥 $P - A B C D$ 所得的上，下两部分几何体的体积之比为 $\frac{3}{5}$

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三、填空题

13. 已知 $\vec{a} = (2 ， m) ， \vec{b} = (- 1 ， 3)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ ．

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14. 设复数 $z = a + b i$ ，其中a，b为实数，若 $(2 - 3 i) a = 2 + b i$ ，则 $| z | =$ ．

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15. 若直线 $y = m^{2} + 3 m - 3$ 与函数 $f (x) = | x | + 1$ 的图像有两个不同交点，则实数m的取值范围是．

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16. 定义：对于函数 $f (x)$ ，若定义域内存在实数 $x_{0}$ 满足： $f (- x_{0}) = - f (x_{0})$ ，则称 $f (x)$ 为“局部奇函数”．若 $f (x) = \frac{1}{x - 3} + m$ 是定义在区间 $(- 1 ， 1)$ 上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知 $| \vec{a} | = 3 \sqrt{5} ， \vec{b} = (1 ， 2)$ ，且 $\vec{a} = λ \vec{b}$ ．

(1)、求 $\vec{a}$ 的坐标；

(2)、当 $λ > 0$ 时，若 $\vec{c} = (3 ， - 4)$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 的夹角的正弦值．

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18. 已知函数 $f (x) = 2 \cos (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 满足下列3个条件：
①函数 $f (x)$ 的周期为 $π$ ；② $x = \frac{π}{3}$ 是函数 $f (x)$ 的对称轴；③ $f (\frac{7 π}{12}) = 0$ .

(1)、请任选其中二个条件，并求出此时函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $x \in [- \frac{π}{3}, \frac{π}{3}]$ ，求函数 $f (x)$ 的最值.

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19. $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 $b c o s C + c c o s B = 2 a c o s A$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $a = 3$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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20. 如图，矩形 $A B C D$ 所在平面与半圆弧 $\overset{⌢}{C D}$ 所在平面垂直， $M$ 是 $\overset{⌢}{C D}$ 上异于 $C ， D$ 的点。

(1)、证明：平面 $A M D ⊥$ 平面 $B M C$

(2)、在线段 $A M$ 上是否存在点 $P$ ，使得 $M C ∥$ 平面 $P B D$ ？说明理由

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21. 在刚刷完漆的室内放置空气净化器，净化过程中有害气体含量P单位： $m g / L$ ）与时间t（单位：h）的关系为： $P = P_{0} e^{- k t}$ ，其中 $P_{0}$ ， k是正的常数，如果在前 $5 h$ 消除了10%的有害气体，那么

(1)、 $10 h$ 后还剩百分之几的有害气体？

(2)、有害气体减少50%需要花多少时间？（精确到 $1 h$ ）（参考数据： $l n 2 \approx 0.6931 ， l n 0.9 \approx - 0.1054$ ）

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22. 如图，已知平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 2$ ， $∠ B A D = 60 °$ ， E为 $A B$ 的中点，将 $△ A D E$ 沿直线 $D E$ 翻折成 $△ P D E$ ，若M为 $P C$ 的中点，则 $△ A D E$ 在翻折过程中（点 $P \notin$ 平面 $A B C D$ ）．

(1)、证明： $B M / /$ 平面PDE；

(2)、当平面PDE平面 $D E B C$ 时，求三棱锥 $B - M E C$ 的体积．

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