四川省自贡市2020-2021学年高一下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2022-04-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 过点 $P (1 ， - 1)$ 且平行于 $l ： x - 2 y + 1 = 0$ 的直线方程为（）

A、 $x + 2 y + 1 = 0$ B、 $2 x + y - 1 = 0$ C、 $x - 2 y - 3 = 0$ D、 $2 x - y + 3 = 0$

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2. 已知 $\vec{a} = (1 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， 1)$ ，则 $\frac{3}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} =$ （）．

A、 $(1 ， - 1)$ B、 $(1 ， - 2)$ C、 $(2 ， - 1)$ D、 $(2 ， - 2)$

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3. 不论 $m$ 为何值，直线 $(m - 2) x - y + 3 m + 2 = 0$ 恒过定点（）

A、 $(3 ， 8)$ B、 $(8 ， 3)$ C、 $(- 3 ， 8)$ D、 $(- 8 ， 3)$

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4. 若实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y \geq 0 \\ y \leq x + 2 \\ 0 \leq x \leq 1 \end{array}$ ，则 $z = 2 x - y$ 的最小值是（）．

A、-3 B、-2 C、-1 D、0

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5. 已知不等式 $\frac{- a x + 1}{x + 2} > 0$ 的解集为 $(- 2 ， a)$ ，则实数 $a$ 的值是（）．

A、-1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、±1

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6. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $c^{2} = {(a - b)}^{2} + 8$ ， $C = \frac{π}{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）．

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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7. 已知 $P$ 是 $△ A B C$ 所在平面内的一动点，且 $\vec{A P} = λ (\vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{B C}) (λ \geq 0)$ ，则点 $P$ 的轨迹一定通过 $△ A B C$ 的（）．

A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心

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8. 银行一年定期的存款的利率为 $p$ ，如果将 $a$ 元存入银行一年定期，到期后将本利和再存一年定期，到期后再存一年定期……，则10年后到期本利共（）．

A、 $(a + 10 p)$ 元 B、 $a {(1 + p)}^{9}$ 元 C、 $(a + 9 p)$ 元 D、 $a {(1 + p)}^{10}$ 元

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9. 某药店有一架不准确的天平（其两臂不等）和一个10克的砝码．一名患者想要20克中药，售货员将砝码放在左盘中，将药物放在右盘中，待平衡后交给患者；然后又将药物放在左盘中，将砝码放在右盘中，待平衡后再交给患者．设两次称量后患者实际得到药物为 $m$ 克，则下列结论正确的是（）．

A、 $m > 20$ B、 $m < 20$ C、 $m = 20$ D、以上都可能

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10. 在 $△ A B C$ 中，点 $O$ 是 $B C$ 的三等分点， $| \vec{O C} | = 2 | \vec{O B} |$ ，过点 $O$ 的直线分别交直线 $A B$ ， $A C$ 于点E，F，且 $\vec{A B} = m \vec{A E}$ ， $\vec{A C} = n \vec{A F} (m > 0 ， n > 0)$ ，则 $u = 2 m + n$ 的值为（）．

A、1 B、2 C、 $\frac{8}{3}$ D、3

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11. 已知正数 $a$ ， $b$ 满足 $a^{2} + b^{2} = 2$ ，则下列结论错误的是（）．

A、 $a b \leq 1$ B、 $a + b \leq 2$ C、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq 2$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \leq 2$

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12. 在数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ，且 $a_{n + 2}$ 等于 $a_{n} a_{n + 1}$ 的个位数 $(n \in N^{*})$ ，若数列 ${a_{n}}$ 的前 $k$ 项和为2021，则正整数 $k$ 的值为（）．

A、508 B、507 C、506 D、505

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二、填空题

13. 已知 $△ A B C$ 的三边长为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若满足 $(a - b - c) (a + b + c) = - b c$ ，则角 $A$ 大小为．

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14. 如图，从气球 $A$ 上测得正前方的河流的两岸 $B$ ， $C$ 的俯角分别为 $6 7^{∘}$ ， $3 0^{∘}$ ，此时气球的高是 $92 m$ ，则河流的宽度 $B C$ 约等于 m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据： $s i n 6 7^{∘} \approx 0.92$ ， $c o s 6 7^{∘} \approx 0.39$ ， $s i n 3 7^{∘} \approx 0.60$ ， $c o s 3 7^{∘} \approx 0.80$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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15. 如图，已知 $A B ⊥ A C$ ， $A B = 3$ ， $A C = \sqrt{3}$ ，圆 $A$ 是以 $A$ 为圆心半径为1的圆，圆B是以 $B$ 为圆心的圆．设点P，Q分别为圆 $A$ 、圆 $B$ 上的动点，且 $\vec{A P} = \frac{1}{2} \vec{B Q}$ ，则 $\vec{C P} \cdot \vec{C Q}$ 的最大值为．

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16. 下列命题：
①当直线 $l$ 经过两点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ 时，直线 $l$ 的斜率为 $\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$
②直线 $y = k x + b$ 与 $y$ 轴交于一点 $B$ ，则直线在 $y$ 轴上的截距为 $| O B |$
③在 $x$ 轴和 $y$ 轴上截距相等的直线方程为 $x + y = a$
④方程 $(x_{2} - x_{1}) (y - y_{1}) = (y_{2} - y_{1}) (x - x_{1})$ 表示过点 $(x_{1} ， y_{1})$ 和 $(x_{2} ， y_{2})$ 的直线．
其中说法中正确的命题番号是．

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三、解答题

17. 在锐角 $△ A B C$ 中， $A C = 2 \sqrt{2}$ ， $D$ 为 $B C$ 边上的一点，且 $∠ A D C = 45 °$ ， $A D = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $∠ C$ 的大小；

(2)、若 $B D = \sqrt{6}$ ，求 $A B$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = x^{2} - (a + 1) x + a$ ，其中 $a$ 为实常数．

(1)、解关于 $x$ 不等式 $f (x) < 0$ ；

(2)、若不等式 $f (x) \geq x - 2$ 对任意 $x > 1$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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19. 已知 $A (2 ， 0)$ ， $B (0 ， 2)$ ， $C (c o s θ ， s i n θ)$ ， $O$ 为坐标原点．

(1)、 $\vec{A C} \cdot \vec{B C} = - 1$ ，求 $s i n 2 θ$ 的值；

(2)、若 $| \vec{O A} - \vec{O C} | = \sqrt{7}$ ，且 $θ \in (0 ， π)$ ，求 $\vec{O B}$ 与 $\vec{O C}$ 的夹角．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，数列 ${b_{n}}$ 是正项等比数列，且 $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $a_{3} + b_{2} = 8$ ， $a_{5} = b_{3}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = a_{n} b_{n} (n \in N^{*})$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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21. 如图，一载着重危病人的火车从 $O$ 地出发，沿北偏东射线 $O A$ 行驶，其中 $t a n α = \frac{1}{2}$ ，在距离 $O$ 地10公里北偏东 $β$ 角的 $P$ 处住有一位医学专家（其中 $t a n β = \frac{3}{4}$ ），现有紧急征调离 $O$ 地正东 $t$ 公里的 $B$ 处的救护车赶往 $P$ 处载上医学专家全速追赶乘有重危病人的火车，并在 $C$ 处相遇，经计算当两车行驶的路线与 $O B$ 围成的三角形 $O B C$ 面积 $S$ 最小时，抢救最及时．

(1)、求 $S$ 关于 $t$ 的函数关系；

(2)、当 $t$ 为何值时，抢救最及时．

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22. 设函数 $f (x) = 1 + l n \frac{1 - x}{x}$ ，设 $a_{1} = 1$ ， $a_{n} = f (\frac{1}{n}) + f (\frac{2}{n}) + f (\frac{3}{n}) + ⋯ + f (\frac{n - 1}{n}) (n \in N^{*} ， n \geq 2)$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式．

(2)、若 $b_{1} = \frac{1}{2}$ ， $b_{n} = \frac{1}{(a_{n} + 1) (a_{n + 1} + 1)} (n \in N^{*} ， n \geq 2)$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} < λ (a_{n + 1} + 1)$ 对一切 $n \in N^{*}$ 成立，求 $λ$ 的取值范围．

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