四川省眉山市2020-2021学年高一下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2022-04-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 不等式 $\frac{1}{x} < 1$ 的解集是（）

A、 $(1 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 0)$ C、 $(- \infty ， 0) ∪ (1 ， + \infty)$ D、 $(- 1 ， 0)$

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2. 过点 $P (\sqrt{3} ， - 2 \sqrt{3})$ 且倾斜角为135º的直线方程为（）

A、 $3 x - y - 4 \sqrt{3} = 0$ B、 $x - y - \sqrt{3} = 0$ C、 $x + y - \sqrt{3} = 0$ D、 $x + y + \sqrt{3} = 0$

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3. 若 $a > b$ ，则下列不等式中成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $a^{3} > b^{3}$ C、 $a^{2} > b^{2}$ D、 $a > | b |$

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4. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = - \frac{1}{1 + a_{n}}$ ，则 $a_{2021} =$ （）

A、1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、-2 D、-1

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5. 设 $x$ 、 $y \in R$ ，向量 $\vec{a} = (x ， 1)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， y)$ ， $\vec{c} = (1 ， - 3)$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ （）

A、5 B、 $2 \sqrt{10}$ C、 $5 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{5}$

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6. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{7} + 2 S_{4} = 18$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、2 B、3 C、7 D、9

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7. 经过点 $P (0 ， - 1)$ 作直线 $l$ ，若直线 $l$ 与连接 $A (1 ， - 2) ， B (2 ， 1)$ 的线段总有公共点，则直线 $l$ 的倾斜角 $α$ 的取值范围为（）

A、 $0^{∘} ⩽ α ⩽ 4 5^{∘}$ 或 $13 5^{∘} ⩽ α ⩽ 18 0^{∘}$ B、 $4 5^{∘} ⩽ α ⩽ 13 5^{∘}$ C、 $4 5^{∘} < α < 13 5^{∘}$ D、 $0^{∘} ⩽ α ⩽ 4 5^{∘}$ 或 $13 5^{∘} ⩽ α < 18 0^{∘}$

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8. 若正实数 $x ， y$ 满足 $4 x + y + 12 = x y$ ，则 $x y$ 的最小值为（）

A、4 B、6 C、18 D、36

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9. 在平面四边形 $A B C D$ 中， $B = C = 120 ° ， A B = 4 ， B C = C D = 2 ，$ 则四边形 $A B C D$ 的面积等于（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $5 \sqrt{3}$ C、 $6 \sqrt{3}$ D、 $7 \sqrt{3}$

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10. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ， $A C = 2$ ， $D$ 为 $B C$ 中点，且 $A D = 2$ ，则 $c o s ∠ B A C =$ （）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{3 \sqrt{3}}{14}$

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11. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} > 0$ ， $a_{3} = 3 a_{5}$ ，则下列说法错误的是（）

A、数列 ${a_{n}}$ 单调递减 B、 $n = 5$ ， $n = 6$ 时 $S_{n}$ 同时达到最大值 C、 $\frac{S_{9}}{S_{5}} = \frac{3}{5}$ D、满足不等式 $S_{n} \geq 0$ 的 $n$ 的最大值为10

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12. 设关于 $x$ 的不等式 $\frac{x^{2} + (2 a^{2} + 2) x - a^{2} + 4 a - 7}{x^{2} + (a^{2} + 4 a - 5) x - a^{2} + 4 a - 7} < 0$ 的解集是一些区间的并集，且这些区间的长度和(规定：区间(a，b)的长度为b﹣a)不小于12，则a的取值范围为（）

A、 $a ⩽ - 1$ 或 $a ⩾ 5$ B、 $a < - 1$ 或 $a ⩾ 5$ C、 $a < - 2$ 或 $a ⩾ 3$ D、 $a ⩽ - 2$ 或 $a ⩾ 3$

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二、填空题

13. 直线 $y = k x + 3 k + 1$ 经过的定点为

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14. 若变量 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{cases} x + y \leq 2 \\ x \geq 1 \\ y \geq 0 \end{cases}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最大值为.

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15. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，下列条件中能说明 $△ A B C$ 为直角三角形的条件有(写出所有符合条件的序号)
① $s i n A = c o s B$ ；
② $t a n A \cdot t a n B = 1$ ；
③ $a + b = c (c o s A + c o s B)$ ；
④ $a = 2 b s i n \frac{A}{2}$ .

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16. 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以 $f (n)$ 表示第 $n$ 幅图的蜂巢总数.则 $f (4)$ =； $f (n)$ = ．

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三、解答题

17. 已知 $\vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}}$ 是夹角为 $6 0^{∘}$ 的单位向量，设 $\vec{a} = \vec{e_{1}} + t \vec{e_{2}}$ .

(1)、若 $\vec{b} = 3 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，求 $t$ 值；

(2)、求 $| \vec{a} |$ 的最小值.

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18. 设直线l的方程为 $(a + 1) x + y + 2 - a = 0 (a \in R)$

(1)、若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．

(2)、若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．

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19. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差 $d > 0$ ， $S_{3} = 12$ ，且 $1 + a_{1} ， a_{2} ， 1 + a_{3}$ 成等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项 $a_{n}$ ；

(2)、求和 $T_{33} = \frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + \frac{1}{a_{3} a_{4}} + ⋯ + \frac{1}{a_{33} a_{34}}$ .

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20. 如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45º方向 $400 \sqrt{2} k m$ 处的热带风暴中心正在以 $20 k m / h$ 的速度向正北方向移动，距风暴中心 $500 k m$ 以内的地区都将受到影响.据以上预报估计，从现在起多长时间后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间为多长？

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 1 - a_{n}$ .

(1)、求通项 $a_{n}$ ；

(2)、求和 $T_{n} = a_{1} + 3 a_{2} + 5 a_{3} + ⋯ + (2 n - 1) a_{n}$ .

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22. 如图在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 6 0^{∘}$ ， $| A B | = 9$ ， $| A C | = 4$ ，点 $E$ 在边 $A B$ 上，点 $F$ 在 $A C$ 的延长线上， $E F$ 交 $B C$ 于 $D$ ，设 $| C F | = x$ ， $| B E | = y$ .

(1)、若 $x = y$ ，求 $| E F |$ 的最小值；

(2)、若 $△ B D E$ 与 $△ C D F$ 面积相等，求 $y - x$ 的最大值.

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