四川省乐山市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-04-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. $\sqrt{2} + 1$ 与 $\sqrt{2} - 1$ 的等差中项为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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2. $s i n 72 ° \cdot s i n 48 ° - s i n 18 ° \cdot s i n 42 ° =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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3. 如图， $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别是等边 $△ A B C$ 各边的中点，则下列结论成立的是（）

A、 $\vec{D E} = \vec{D F}$ B、 $\vec{E F} = \frac{1}{2} \vec{B C}$ C、 $\vec{E F} = \vec{C D}$ D、 $2 \vec{D E} = \vec{A C}$

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4. 设 $P = (a + 1) (a - 5)$ ， $Q = 2 a (a - 3)$ ，则有（）

A、 $P > Q$ B、 $P \geq Q$ C、 $P < Q$ D、 $P \leq Q$

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5. 设 $\vec{a}$ 是非零向量， $λ$ 是非零实数，下列结论正确的是（）

A、 $\vec{a}$ 与 $λ \vec{a}$ 的方向相同 B、 $\vec{a}$ 与 $- λ \vec{a}$ 的方向相反 C、 $| - λ \vec{a} | = | - λ | \cdot \vec{a}$ D、 $| - λ \vec{a} | = | - λ | \cdot | \vec{a} |$

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6. 若 $a$ ， $b \in R$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ B、若 $| a | > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ C、若 $a > | b |$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ D、若 $a \neq | b |$ ，则 $a^{2} \neq b^{2}$

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7. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{4} + a_{5} + a_{6} + a_{7} + a_{8} = 90$ ，则 $a_{3} + a_{9} =$ （）

A、18 B、30 C、36 D、72

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8. 在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ 分别是角A， $B$ 的对边，若 $\frac{a}{c o s B} = \frac{b}{c o s A}$ 成立，那么 $△ A B C$ 的形状是（）

A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等腰或直角三角形 D、无法判断

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9. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $2 a c o s C = 2 b - c$ ，则 $A =$ （）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ，若 $a_{n} \vec{O B} = n \vec{O A} + a_{n - 1} \vec{O C} (n \geq 2)$ ，且 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点共线（该直线不过点 $O$ ），则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为（）

A、 $a_{n} = \frac{n^{2} + n}{2}$ B、 $a_{n} = n^{2} - n + 1$ C、 $a_{n} = \frac{n^{2} + 3 n - 2}{2}$ D、 $a_{n} = n^{2} - n + 2$

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11. 如图，四边形 $A B C D$ 是等腰梯形， $E$ 、 $F$ 分别是腰 $A D$ 、 $B C$ 的中点，点 $P$ 是 $E F$ 的一个三分点， $A B = 2 C D$ ，若 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{B C}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{5}{4}$

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12. 已知正项等比数列{a_n}满足a₇=a₆+2a₅ ，若存在两项a_m ， a_n使得 $\sqrt{a_{m} a_{n}} = 4 a_{1}$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{4}{n}$ 的最小值为（　　）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{25}{6}$ D、不存在

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二、填空题

13. 不等式 $\frac{x - 1}{x + 2} < 0$ 的解集是．

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14. 已知 $A (- 1 ， 1)$ ， $B (1 ， 3)$ ， $C (m ， 2)$ ，如果 $A B ⊥ B C$ ，则 $m =$ .

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15. 某市出租车的计价标准为1.2元 $/ k m$ ，起步价为6元，即最初 $3 k m$ （不含 $3 k m$ ）计费6元.若某人乘坐该市的出租车去往 $13 k m$ 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么他需要支付的车费为.

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16. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 1$ ， $E$ 为 $B C$ 的中点，若 $F$ 是该矩形内（含边界）任意一点，则 $\vec{A E} \cdot \vec{D F}$ 的取值范围为.

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三、解答题

17. 如图，河流上有一座桥，其长度 $B C = 100 m$ ，在桥的两端 $C$ ， $B$ 处测得空中一气球的仰角分别为 $α = 30 °$ ， $β = 45 °$ ，试求气球的高度 $h$ .

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18. 已知 $\vec{e_{1}} = (1 ， 0)$ ， $\vec{e_{2}} = (0 ， 1)$ ， $\vec{a} = 2 \vec{e_{1}} + λ \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ .

(1)、求 $λ$ 的值；

(2)、求向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{c} = \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ 夹角的余弦.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，且 $a_{3} = 7$ ， $a_{5} = 3$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 的最大值.

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20. 某地需要修建一条大型输油管道通过240公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的工程费用为400万元，铺设距离为 $x$ 公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为 $x^{2} + x$ 万元．设余下工程的总费用为 $y$ 万元．

(1)、试将 $y$ 表示成 $x$ 的函数；

(2)、需要修建多少个增压站才能使 $y$ 最小，其最小值为多少？

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21. 如图，在平面直角坐标系中，角 $α$ 的顶点在原点，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点 $A$ ，且 $α \in [\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ ，将角 $α$ 的终边绕原点逆时针方向旋转 $\frac{π}{3}$ ，交单位圆于点 $B$ ，过 $B$ 作 $B C ⊥ y$ 轴于点 $C$ .

(1)、若点 $A$ 的纵坐标为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求点 $B$ 的横坐标；

(2)、求 $△ A O C$ 的面积 $S$ 的最大值.

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22. 已知单调等比数列 ${a_{n}}$ 中，首项为 $\frac{1}{2}$ ，其前n项和是 $S_{n}$ ，且 $\frac{1}{2} a_{3} + S_{3},_{} S_{5},_{} a_{4} + S_{4}$ 成等差数列,数列 ${b_{n}}$ 满足条件 $\frac{1}{a_{1} a_{2} a_{3} \dots a_{n}} = {(\sqrt{2})}^{b_{n}} .$
(Ⅰ) 求数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(Ⅱ) 设 $c_{n} = a_{n} - \frac{1}{b_{n}}$ ,记数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

①求 $T_{n}$ ;②求正整数 $k$ ，使得对任意 $n \in N^{*}$ ，均有 $T_{k} \geq T_{n}$ .

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