四川省达州市2020-2021学年高一下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2022-04-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | - 2 < x < 5}$ ， $N = {x | - 3 \leq x \leq 3}$ ，则 $M ∪ N =$ （）

A、 ${- 3 ， - 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ C、 $[- 3 ， 5)$ D、 $(- 2 ， 3]$

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2. 三个实数 $2^{3}$ ， $2^{- 3}$ ， $l o g_{2} 3$ 的大小关系是（）

A、 $2^{- 3} < 2^{3} < l o g_{2} 3$ B、 $l o g_{2} 3 < 2^{- 3} < 2^{3}$ C、 $2^{3} < l o g_{2} 3 < 2^{- 3}$ D、 $2^{- 3} < l o g_{2} 3 < 2^{3}$

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3. 直线 $2 x - y + 1 = 0$ 和直线 $4 x - 2 y - 1 = 0$ 的位置关系是（）

A、垂直 B、平行 C、重合 D、相交但不垂直

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4. 在等差数列{a_n}中， $a_{1} = - 1$ ，公差 $d = 2$ ，则 $a_{10} =$ （）

A、17 B、8 C、80 D、20

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5. 已知在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $A C = 5$ ， $c o s A = \frac{1}{5}$ ，则 $B C =$ （）

A、4 B、 $5 \sqrt{2}$ C、 $\frac{16}{3}$ D、5

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6. 要得到函数 $y = c o s 2 x$ 的图象，只需将函数 $y = s i n (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象沿x轴（）

A、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 B、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 C、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 D、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位

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7. 函数 $y = 2^{x} - s i n 2 x$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 既成等差数列又成等比数列，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图像与直线 $y = m$ 交于不同两点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ，则 $x_{1} + x_{2} =$ （）

A、1 B、2 C、-1 D、-2

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9. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + \frac{π}{6})$ $(ω > 0)$ 的部分图象如图， $f (x)$ 的最小正零点是 $\frac{5 π}{12}$ ， $f (x)$ 的单调递增区间是（）

A、 $[\frac{5 k}{11} π - \frac{5 π}{33} ， \frac{5 k}{11} π + \frac{5 π}{66}] (k \in Z)$ B、 $[k π - \frac{π}{3} ， k π + \frac{π}{6}] (k \in Z)$ C、 $[2 k π - \frac{π}{3} ， 2 k π + \frac{π}{6}] (k \in Z)$ D、 $[k π - \frac{5 π}{33} ， k π + \frac{5 π}{66}] (k \in Z)$

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10. 在 $△ A B C$ 中，若 $2 c o s B c o s C + s i n 2 A = 2 s i n B s i n C$ ，则 $△ A B C$ 是（）

A、等腰三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、钝角三角形

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11. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $A D = 2$ ， $B D = \sqrt{7}$ ， $E$ 是线段 $B C$ 的中点，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A E} =$ （）

A、10.5 B、7.5 C、5.5 D、 $6 \sqrt{2}$

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12. 直线 $l ： 2 k x - 2 y - 3 k + 1 = 0$ 分别与直线 $l_{1} ： x + 2 y - 5 = 0$ 和 $l_{2} ： 2 x - y - 5 = 0$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 交于点 $P$ ， $O$ 为坐标原点，当 $O$ 到 $l$ 的距离最大时， $\vec{O P} \cdot \vec{A B} =$ （）

A、1 B、-1 C、2 D、0

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二、填空题

13. 在等比数列 {a_n} 中， $a_{2} = 1$ ， $a_{5} = 2$ ，则 $a_{11} =$ .

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14. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{array}{l} x \leq 2 ， \\ y \leq 2 ， \\ x + y \geq 0 ， \end{array}$ 则 $2 x - y$ 的最大值是.

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15. 已知A（1，12），B（3，4），过点C（﹣1，0）且斜率为k的直线l₁与线段AB相交，点D（0，1）到直线l₂：3x+4y+k＝0的距离为d，则实数d的取值范围是.

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16. 汽车正常行驶中，轮胎上与道路接触的部分叫轮胎道路接触面.如图，一辆小汽车前左轮胎道路接触面上有一个标记 $P$ ，标记 $P$ 到该轮轴中心的距离为 $0.3 m$ .若该小汽车启动时，标记 $P$ 离地面的距离为 $0.45 m$ ，汽车以 $64.8 k m / h$ 的速度在水平地面匀速行驶，标记 $P$ 离地面的高度 $f (x)$ （单位： $m$ ）与小汽车行驶时间 $x$ （单位： $s$ ）的函数关系式是 $f (x) = A s i n (ω x + φ) + b$ ，其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ，则 $f (x) =$ .

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三、解答题

17. 如图是台球赛实战的一个截图.白球在 $A$ 点处击中一球后，直线到达台球桌内侧边沿点 $B$ ，反弹后直线到达台球桌内侧另一边沿点 $C$ ，再次反弹后直线击中桌面上点 $D$ 处一球.以台球桌面内侧边沿所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.已知 $A (1 ， 1)$ ， $B (0.4 ， 0)$ .

(1)、求直线 $A B$ 的方程；

(2)、若点 $D$ 的坐标是 $(x_{0} ， \frac{7}{6})$ ，求 $x_{0}$ .
（提示：直线 $A B$ 与直线 $B C$ 的斜率互为相反数， $D C / / A B$ .）

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18. 已知 $S_{n}$ 是数列{a_n}的前 $n$ 项和， $a_{n} + S_{n} = 1 (n \in N *)$ .

(1)、求{a_n}的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = - l o g_{2} a_{n} (n \in N *)$ ，求数列 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 2}}}$ 前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 已知 $f (x) = x^{2} + m x + n - m$ .

(1)、若 $n = 3$ ，对一切 $x \in R$ ， $f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $m > 0$ ， $n > 0$ ， $f (2) = 5$ ，求 $\frac{1}{1 - m} + \frac{1}{1 - n}$ 的最小值.

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20. 已知 $f (x) = 2 s i n x s i n (x + \frac{π}{3})$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期 $T$ ；

(2)、若 $- \frac{π}{6} < α < \frac{π}{3}$ ， $f (α) = \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{2}$ ，求 $c o s (2 α + \frac{π}{6})$ 的值.

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21. 已知{a_n}是等差数列， $a_{2}$ ， $a_{3}$ 是函数 $f (x) = x^{2} - a_{4} x + a_{5}$ 的两个不同零点.

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、若 $a_{m}$ ， $a_{r}$ ， $a_{s}$ ， $a_{t}$ 都是数列{a_n}前51项中的项， $a_{m}$ ， $a_{r}$ ， $a_{s}$ 是公比为 $q (q \in N *)$ 的等比数列， $a_{r}$ ， $a_{s}$ ， $a_{t}$ 成等差数列.当 $\frac{a_{t}}{a_{m}}$ 最大时，求 $a_{t}$ .

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22. 如图，某人身高 $1.73 m$ ，他站的地点 $A$ 和云南大理文笔塔塔底 $O$ 在同水平线上，他直立时，测得塔顶 $M$ 的仰角 $∠ M C E = 22.8 °$ （点 $E$ 在线段 $M O$ 上，忽略眼睛到头顶之间的距离，下同）.他沿线段 $A O$ 向塔前进 $100 m$ 到达点 $B$ ，在点 $B$ 直立时，测得塔顶 $M$ 的仰角 $∠ M D E = 48.3 °$ ：塔尖MN的视角 $∠ M D N = 3.3 °$ （ $N$ 是塔尖底，在线段 $M O$ 上）.

(1)、求塔高 $M O$ ；

(2)、此人在线段 $A O$ 上离点 $O$ 多远时，他直立看塔尖 $M N$ 的视角最大？说明理由.
参考数据： $\frac{s i n 22.8 ° s i n 48.3 °}{s i n 25.5 °} = 0.674$ ， $t a n 22.8 ° = 0.42125$ ， $63.5 9^{2} = 67.4 \times 60$ .

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