上海市徐汇区2020-2021年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-04-28 类型：期末考试

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一、填空题

1. 已知角 $α$ 的终边上的一点 $(4 t ， - 3 t) (t > 0)$ ，则 $s i n α =$ ．

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2. 设复数 $z$ 满足 $i \cdot z = 3 + 2 i$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则 $I m z =$ ．

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3. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， 1)$ ， $\vec{b} = (m ， 2)$ ，若存在实数 $λ$ ，使得 $\vec{a} = λ \vec{b}$ ，则 $m =$ .

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4. 将正弦函数 $y = s i n x$ 的图像向右平移 $m$ $(m > 0)$ 个单位，可以得到余弦函数 $y = c o s x$ 的图象，则 $m$ 的最小值为．

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5. 已知 $\vec{a} = (1 ， 0) ， \vec{b} = (5 ， 5)$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 方向上的投影向量的坐标为．

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6. 函数 $y = \log_{\frac{1}{2}} (x^{2} + 2 x - 3)$ 的单调递减区间是．

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7. 已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{3}$ ，则 $⟨ \vec{a} ， \vec{b} ⟩ =$ ．

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8. 已知 $s i n (7 5^{∘} + α) = \frac{1}{3}$ ，则 $c o s (1 5^{∘} - α)$ 的值为．

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9. 设 $m \in R$ ，若 $z$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + m x + m^{2} - 1 = 0$ 的一个虚根，则 $| \bar{z} |$ 的取值范围是.

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10. 赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方程”亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的个大正方形，如图是一张弦图已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，若直角三角形较小的锐角为 $α$ ，则 $t a n (α - \frac{π}{4})$ 的值为．

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11. 已知函数 $y = a + c o s ω x ， x \in [- π ， π]$ （其中 $a ， ω$ 为常数，且 $ω > 0$ ）有且仅有三个零点，则 $ω$ 的取值范围是．

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - 2 x & x \leq a \\ - x + 2 & x > a \end{array}$ ，若存在实数 $x_{0}$ ，使得对于任意的实数x都有 $f (x) \leq f (x_{0})$ 成立，则实数a的取值范围是.

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二、单选题

13. 在 $△ A B C$ 中，" $\vec{A B} \cdot \vec{A C} < 0$ "是 $△ A B C$ 为钝角三角形的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14. 幂函数 $y = x^{- 1}$ ，及直线 $y = x ， y = 1 ， x = 1$ 将直角坐标系第一象限分成八个“卦限： $I ， I I ， I I I ， I V ， V ， V I ， V I I ， V I I I$ （如图所示），那么，而函数 $y = x^{- \frac{1}{3}}$ 的图象在第一象限中经过的“卦限”是（）

A、 $I V ， V I I$ B、 $I V ， V I I I$ C、 $I I I ， V I I I$ D、 $I I I ， V I I$

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15. 函数 $y = 1 - 2 s i n^{2} (x - \frac{π}{4})$ 是（）

A、最小正周期为 $\frac{π}{2}$ 的奇函数 B、最小正周期为 $\frac{π}{2}$ 的偶函数 C、最小正周期为 $π$ 的奇函数 D、最小正周期为 $π$ 的偶函数

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16. 人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级 $d (x)$ （单位：dB）与声音强度 $x$ （单位： $W / m^{2}$ ）满足 $d (x) = 9 \lg \frac{x}{1 \times 10^{- 13}}$ ，一般两人小声交谈时，声音的等级约为54 dB，在有40人的课堂上讲课时，老师声音的强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍，则老师声音的等级约为（）

A、36dB B、63 dB C、72 dB D、81 dB

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三、解答题

17. 已知复数 $z = (m^{2} + m - 6) + (m^{2} - 3 m + 2) i$ ，其中 $m \in R$ ， $i$ 为虚数单位．

(1)、当 $m$ 取何值时， $z$ 为纯虚数；

(2)、如果复数 $z$ 在复平面上对应的点位于第二象限，求实数 $m$ 的取值范围．

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18. 在 $△ A B C$ 中，设 $\vec{C A} = \vec{a} ， \vec{C B} = \vec{b}$ ，记 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ．

(1)、求证： $S = \frac{1}{2} \sqrt{| \vec{a} |^{2} | \vec{b} |^{2} - (\vec{a} \cdot \vec{b})^{2}}$ ；

(2)、设 $\vec{a} = (x_{1} ， y_{1}) ， \vec{b} = (x_{2} ， y_{2})$ 求证： $S = \frac{1}{2} | x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} |$ ．

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19. 主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周国的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示）．已知某噪声的声波曲线 $f (x) = A s i n (\frac{2 π}{3} x + φ) (A > 0 ， 0 \leq φ < π)$ ，其中的振幅为2，且经过点（1，－2）

(1)、求该噪声声波曲线的解析式 $f (x)$ 以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式 $g (x)$ ；

(2)、证明： $g (x) + g (x + 1) + g (x + 2)$ 为定值．

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20. 为了测量金茂大厦最高点 $A$ 与上海中心大厦最高点 $B$ 之间的距离，一架无人机在两座大厦的正上方飞行，无人机的飞行轨迹是一条水平直线 $M N$ ，并且在飞行路线上选择 $C$ 、 $D$ 两点进行定点测量（如图），无人机能够测量的数据有：无人机的飞行高度 $h$ ， $C D$ 间的距离 $d$ 和俯角（即无人机前进正方向与无人机、测量目标连线所成的角）

(1)、若无人机在 $C$ 处测得 $∠ N C A = α$ ，在D处测得 $∠ N D A = β$ ，其中 $α ， β \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，问：
能否测得金茂大厦的高？若能，请求出金茂大厦的高度（用已知数据 $h ， d ， α ， β$ 表示）；若不能，请说明理由．

(2)、若要进一步计算金茂大厦最高点 $A$ 与上海中心大厦最高点 $B$ 之间的距离，还需测量些数据？请用文字和公式简要叙述测量与计算的步骤．

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21. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为D，若对任意的 $x_{1} \in D$ ，都存在 $x_{2} \in D$ ，满足 $f (x_{1}) = \frac{1}{f (x_{2})}$ ，则称函数 $f (x)$ 为“L函数”．

(1)、判断函数 $f (x) = s i n x + \frac{3}{2} ， x \in R$ 是否为“L函数”，并说明理由；

(2)、已知“L函数” $f (x)$ 是定义在 $[a ， b]$ 上的严格增函数，且 $f (a) > 0 ， f (b) > 0$ ，求证： $f (a) \cdot f (b) = 1$

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