上海市松江区2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-04-28 类型：期末考试

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一、填空题

1. 计算 $i^{2021} =$ ．（ $i$ 为虚数单位)

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2. 已知向量 $\vec{a} = (x, 1)$ ， $\vec{b} = (2, - 3)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则实数x的值是．

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3. 若 $z = (m - 2) + (m + 1) i$ 为纯虚数（ $i$ 为虚数单位）， $m \in R$ ，则 $| z | =$ ．

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4. 已知 $t a n α = 4 ，$ 则 $\frac{s i n α + 2 c o s α}{s i n α - 3 c o s α} =$ ．

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5. 已知一扇形的弧所对的圆心角为60º，半径 $r = 20 c m$ ，则扇形的周长为cm．

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6. 化简： $\frac{c o s (π - α)}{s i n (\frac{π}{2} + α)} \cdot \frac{c o t (2 π + α)}{t a n (α - \frac{π}{2})} =$ ．

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7. 在△ $A B C$ 中，若 $c = 2 a c o s B$ ，则△ $A B C$ 的形状是三角形．

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8. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | \leq \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示，则 $f (x) =$ ．

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9. 已知 $x \in [0 ， π]$ ，向量 $\vec{a} = (s i n x ， 1)$ ， $\vec{b} = (2 ， c o s x)$ ，当 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 取到最大值时， $x$ 的值是．

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10. 已知 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 4$ ， $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的数量投影为 $- 2$ ，则 $| \vec{a} - 3 \vec{b} |$ 的最小值为．

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11. 如图， $O$ 是线段 $A B$ 外一点， $| O A | = 3$ ， $| O B | = 2$ ， $P$ 是线段 $A B$ 的垂直平分线 $l$ 上的动点，则 $\vec{O P} \cdot \vec{A B}$ 的值为．

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12. 已知函数 $f (x) = 4 s i n (2 x - \frac{π}{6})$ ， $x \in [0$ ， $\frac{13}{3} π]$ ，若 $F (x) = f (x) - 3$ 的所有零点依次记为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， …， $x_{n}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < \dots < x_{n}$ ，则 $x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} + \dots + 2 x_{n - 1} + x_{n} =$ .

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二、单选题

13. 若 $t a n α < 0$ ，则（）

A、 $s i n α < 0$ B、 $c o s α < 0$ C、 $s i n 2 α < 0$ D、 $c o s 2 α < 0$

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14. 为了得到函数 $y = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图像，只需将函数 $y = \sin 2 x$ 的图像（）

A、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 B、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 C、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 D、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位

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15. 欧拉公式 $e^{i x} = c o s x + i s i n x$ （ $i$ 为虚数单位， $x \in R$ ， $e$ 为自然底数)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论：① $e^{i π} + 1 = 0$ ；② $(c o s \frac{π}{10} + i s i n \frac{π}{10}) (c o s \frac{2 π}{10} + i s i n \frac{2 π}{10}) \cdot \cdot \cdot (c o s \frac{9 π}{10} + i s i n \frac{9 π}{10}) = i$ 其中所有正确结论的编号是（）

A、①②均正确 B、①②均错误 C、①对②错 D、①错②对

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16. 设函数 $y = c o s 2 x (x \geq 0)$ 和函数 $y = c o s 10 x (x \geq 0)$ 的图像公共点的横坐标从小到大依次为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， …， $x_{n}$ ，若 $t a n (x_{3} - α) = c o s x_{4}$ ，则 $s i n 2 α$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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三、解答题

17.

(1)、已知角 $α$ 终边上有一点 $P$ 的坐标是 $(3 a ， - 4 a)$ ，其中 $a > 0$ ，求 $2 s i n α + c o s α$ 的值．

(2)、证明恒等式： $\frac{1 + s i n α}{c o s α} = \frac{1 + t a n \frac{α}{2}}{1 - t a n \frac{α}{2}}$ ．

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18. 已知复数 $z_{1} = a + 2 + (a^{2} - 3) i$ ， $z_{2} = 2 - (3 a + 1) i$ （ $a \in R$ ， $i$ 是虚数单位）．

(1)、若复数 $z_{1} - \bar{z_{2}}$ 在复平面上对应点落在第一象限，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若虚数 $z_{1}$ 是实系数一元二次方程 $x^{2} - 6 x + m = 0$ 的根，求实数 $m$ 的值．

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19. 东西向的铁路上有两个道口 $A$ 、 $B$ ，铁路两侧的公路分布如图， $C$ 位于 $A$ 的南偏西15°，且位于 $B$ 的南偏东15°方向， $D$ 位于 $A$ 的正北方向， $A C = A D = 2 k m$ ， $C$ 处一辆救护车欲通过道口前往 $D$ 处的医院送病人，发现北偏东45°方向的 $E$ 处(火车头位置)有一列火车自东向西驶来，若火车通过每个道口都需要 $1$ 分钟，救护车和火车的速度均为 $60 k m / h$ .

(1)、判断救护车通过道口 $A$ 是否会受火车影响，并说明理由；

(2)、为了尽快将病人送到医院，救护车应选择 $A$ 、 $B$ 中的哪个道口？通过计算说明.

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20. 已知函数 $f (x) = s i n 2 x + 2 c o s^{2} x + 2$ ， $x \in [0$ ， $\frac{π}{2}]$ ．

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的值域；

(2)、求函数 $y = f (x)$ 单调递减区间；

(3)、若不等式 $m f (x) + 2 m ⩾ f (x)$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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21. 已知 $O$ 是线段 $A B$ 外一点，若 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ．

(1)、设点 $G$ 是 $△ O A B$ 的重心，证明： $\vec{O G} = \frac{1}{3} (\vec{a} + \vec{b})$ ；

(2)、设点 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 是线段 $A B$ 的三等分点， $△ O A A_{1}$ 、 $△ O A_{1} A_{2}$ 及 $△ O A_{2} B$ 的重心依次为 $G_{1}$ 、 $G_{2}$ 、 $G_{3}$ ，试用向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示 $\vec{O G_{1}} + \vec{O G_{2}} + \vec{O G_{3}}$ ；

(3)、如果在线段 $A B$ 上有若干个等分点，请你写出一个正确的结论？(不必证明)
说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给予不同的评分．

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