上海市静安区2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-04-28 类型：期末考试

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一、填空题

1. 函数 $y = x^{2} s i n (x + \frac{π}{2})$ 的奇偶性是.

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2. 已知 $t a n α = - \frac{3}{4}$ ，则 $t a n (α + \frac{π}{4}) =$ .

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3. 复数 $z = {(1 - 3 i)}^{2}$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $z$ 的虚部为.

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4. 已知平面向量 $\vec{a} = (2 ， 4)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 2)$ ，设向量 $\vec{c} = \vec{a} + (\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{b}$ ，则 $\vec{c} =$ .

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5. 设向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (2 ， 1)$ ， $| \vec{b} | = 2 \sqrt{5}$ ，且 $\vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 的方向相反，则 $\vec{b}$ 的坐标为.

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6. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， m)$ ， $\vec{b} = (0 ， - 2)$ ，若 $(2 \vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b} ，$ ，则实数m=.

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7. 函数 $y = \frac{1 - c o s x}{s i n x}$ 的周期是 .

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8. 已知 $c o s x = - \frac{3}{5}$ ， $x \in [0 ， π]$ ，则满足条件的x=(结果用反三角记号表示)

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9. 若a为第三象限的角，则 $\frac{\sqrt{1 - c o s 2 α}}{s i n α} - \frac{\sqrt{1 + c o s 2 α}}{c o s α}$ =.

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10. 在 $△ A B C$ 中，A，B，C的对边分别是a，b，c，若 $\frac{\tan A - \tan B}{\tan A + \tan B} = \frac{c - b}{c}$ ，则角A的余弦值是.

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二、单选题

11. 已知复数z₁､z₂ ，则“ $z_{1} z_{2} = 0$ ”是“ $z_{1} = 0$ 或 $z_{2} = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12. 若0<α<2π，且sinα< $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， cosα> $\frac{1}{2}$ ，则角α的取值范围是（）

A、 $(- \frac{π}{3} ， \frac{π}{3})$ B、 $(0 ， \frac{π}{3})$ C、 $(\frac{5 π}{3} ， 2 π)$ D、 $(0 ， \frac{π}{3})$ ∪ $(\frac{5 π}{3} ， 2 π)$

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13. 若 $\vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}}$ 是平面内向量的一组基，则下面的向量中不能作为一组基的是（）

A、 $\vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ 和 $\vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ B、 $3 \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ 和 $- 6 \vec{e_{1}} + 4 \vec{e_{2}}$ C、 $\vec{e_{1}} + 3 \vec{e_{2}}$ 和 $3 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ D、 $\vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ 和 $\vec{e_{2}}$

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三、解答题

14. 设z是实系数一元二次方程 $x^{2} - 2 x + 2 = 0$ 的根.

(1)、求出所有z；

(2)、选取（1）中求出的一个z值，计算 $\frac{z^{2} - z + 1}{z^{2} + z + 1}$ 的值.

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15. 用“五点法”作出函数 $y = 1 - s i n x$ ， $x \in [0 ， 2 π]$ 的大致图象，并写出使得 $1 \leq y \leq 2$ 的 $x$ 的取值范围.

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16. 求函数 $y = 2 \sqrt{3} c o s^{2} \frac{x}{2} + 2 s i n \frac{x}{2} c o s \frac{x}{2} - \sqrt{3}$ 的值域与单调增区间.

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17. 已知 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，且 $(2 \vec{a} + \vec{b}) \cdot (4 \vec{a} - 3 \vec{b}) = - 6 .$ .

(1)、求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角大小；

(2)、求 $| \vec{a} - 2 \vec{b} |$ .

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18. 随着生活水平的逐步提高，越来越多的人开始改善居住条件，搬家成了生活中经常谈及的话题，在搬运大型家具的过程中，经常需要考虑家具能否通过狭长的转角过道，如果我们能够根据过道的宽度和家具的尺寸，用数学的方法预先判断家具能否转弯，必将为搬运家具提供实用的依据，从而避免因家具尺寸过大而不能转弯的麻烦，有经验的搬运工的做法是∶将家具推进过道的转角，让家具的一侧抵住过道的拐角，然后转动并推进家具，若家具过长或过宽，家具都会卡在过道内，家具将不能转过转角.

(1)、请你提出一个数学问题，并将你的问题填入答题纸对应题号的方框内；

(2)、为了解决问题，我们需要作出一些合理的假设∶假设1∶家具呈长方体的形状∶假设2∶转角两侧的过道宽度相同∶假设3∶墙壁是光滑的平面，且地面是水平面；假设4∶家具转动时其侧面始终保持与水平面垂直∶假设5∶过道的转角为直角∶假设6∶忽略家具转动时家具与墙壁､地面的摩擦影响；等等.根据上述假设和你提出的数学问题，画出搬运家具时一个转角过道的示意图，设定相关参数或变量，构建相应的数学模型，并将示意图和建立的数学模型填写在答题纸对应题号的方框内.

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