陕西省西安市阎良区2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-04-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. $\frac{t a n 10 ° + t a n 20 °}{1 - t a n 10 ° t a n 20 °} =$ （）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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2. 下列函数为偶函数的是（）

A、 $y = 2 s i n x$ B、 $y = - c o s x$ C、 $y = s i n x + c o s x$ D、 $y = - t a n x$

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3. 某学校高一年级派甲，乙两个班参加学校组织的拔河比赛，甲，乙两个班取得冠军的概率分别为 $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{4}$ ，则该年级在拔河比赛中取得冠军的概率为（）

A、 $\frac{7}{12}$ B、 $\frac{1}{12}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、 $\frac{1}{3}$

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4. 已知角 $α$ 的终边经过点 $(- 4 ， 3)$ ，则 $s i n α =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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5. 从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列事件中，是必然事件的是（）

A、3个都是篮球 B、至少有1个是排球 C、3个都是排球 D、至少有1个是篮球

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6. 在五场篮球比赛中，甲、乙两名运动员得分的茎叶图如图所示.下列说法正确的是（）

A、甲得分的中位数和极差都比乙大 B、甲得分的中位数比乙小，但极差比乙大 C、甲得分的中位数和极差都比乙小 D、甲得分的中位数比乙大，但极差比乙小

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7. 若 $t a n α = 3$ ，则 $s i n 2 α =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $- \frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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8. 在区间 $(0 ， \frac{2}{3})$ 随机取 $1$ 个数，则取到的数小于 $\frac{1}{2}$ 的概率为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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9. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）

A、该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B、该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C、估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D、估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

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10. 已知非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2 | \vec{b} |$ ， $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{3} | \vec{b} |$ ，则向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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11. 把函数 $y = f (x)$ 图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移 $\frac{π}{6}$ 个的长度单位，得到函数 $y = s i n (2 x - \frac{π}{4})$ 的图象，则 $f (x) =$ （）

A、 $s i n (x - \frac{7 π}{12})$ B、 $s i n (x + \frac{π}{12})$ C、 $s i n (4 x - \frac{7 π}{12})$ D、 $s i n (4 x + \frac{π}{12})$

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12. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (0 < ω < 10)$ ，若存在实数 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，使得 $f (x_{1}) - f (x_{2}) = 2$ ，且 $| x_{1} - x_{2} | = π$ ，则 $ω$ 的最大值为（）

A、9 B、8 C、7 D、5

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二、填空题

13. 欲利用随机数表从00、01、02、 $⋯ ⋯$ 、59这些编号中抽取一个容量为6的样本，抽取方法是从下面的随机数表的第1行第11列开始向右读取，每次读取两位，直到取足样本，则第4个被抽取的样本的编号为.
6301637859 1695556719 9810507175 1286735807 4439523879
3321123429 7864560782 5242074438 1551001342 9966027954

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14. 若 $A (2 ， - 1)$ ， $B (4 ， 2)$ ， $C (1 ， 5)$ ，则 $\vec{A B} + 2 \vec{B C} =$ .

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15. 如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若 $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{A D} = \vec{b}$ ，用 $\vec{a} ， \vec{b}$ 表示 $\vec{A G} =$ .

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16. 某班40名学生，在一次考试中统计所得平均分为80分，方差为70，后来发现有两名同学的成绩有损，甲实得80分错记为60分，乙实得70分错记为90分，则更正后的方差为．

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三、解答题

17. 已知 $f (α) = \frac{c o s (\frac{π}{2} + α) t a n (2021 π - α) s i n (\frac{3 π}{2} - α)}{s i n (π - α) s i n (\frac{3 π}{2} + α)}$ .

(1)、化简 $f (α)$ ；

(2)、若 $α$ 是第四象限角，且 $s i n α = - \frac{1}{4}$ ，求 $f (α)$ 的值.

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18. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (2 x - \frac{π}{3})$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和对称中心；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间.

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19. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 在同一平面上，且 $\vec{a} = (- 2, 1)$ .

(1)、若 $\vec{a} / / \vec{c}$ ，且 $| \vec{c} | = 25$ ，求向量 $\vec{c}$ 的坐标﹔

(2)、若 $\vec{b} = (3, 2)$ ，且 $k \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 垂直，求 $k$ 的值.

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20. 2020年8月，习近平总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示，要求进一步加强宣传教育，切实培养节约习惯，在全社会营造浪费可耻、节约光荣的氛围，为贯彻总书记指示，某学校食堂从学生中招募志愿者，协助食堂宣传节约粮食的相关活动，现有高一63人、高二42人、高三21人报名参加志愿活动，根据活动安排，拟按年级采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取12名志愿者，参加为期20天的第一期志愿活动.

(1)、第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人？

(2)、现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取2人粘贴宣传标语，求抽取的两人都是高二学生的概率.

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21. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) + 2 c o s (4 x + \frac{π}{3})$ 的定义域为 $[0 ， \frac{π}{2}]$ ，求函数 $g (x)$ 的最值.

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22. 某村海拔1500米，交通极为不便，被称为“云端上的村庄”，系建档立卡贫困村.该省政府办公厅组建了精准扶贫组进行定点帮扶，扶贫组在实地调研和充分听取群众意见后，立足当地独特优势，大力发展高山蔬菜和生态黑猪，有效带动了全村父老乡亲脱贫奔小康.村民甲在企业帮扶下签订合同，代养生态黑猪，2016年至2020年养殖黑猪的年收入y（单位；万元）的数据如下表：
年份
2016
2017
2018
2019
2020
年份代号 $x$
1
2
3
4
5
年收入y
5.6
6.5
7.4
8.2
9.1
附：线性回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

(1)、请根据表提供的数据，用最小二乘法求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程；

(2)、利用（1）中的线性回归方程，预测从哪一年开始村民甲养殖生态黑猪的月平均收入将超过1万元？

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年份	2016	2017	2018	2019	2020
年份代号 $x$	1	2	3	4	5
年收入y	5.6	6.5	7.4	8.2	9.1