陕西省渭南市韩城市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-04-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 某学校高一年级派甲，乙两个班参加学校组织的拔河比赛，甲，乙两个班取得冠军的概率分别为 $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{4}$ ，则该年级在拔河比赛中取得冠军的概率为（）

A、 $\frac{7}{12}$ B、 $\frac{1}{12}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、 $\frac{1}{3}$

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2. 教育部办公厅于2021年1月18日发布了《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，通知要求中小学生原则上不得将个人手机代入校园．某学校为了解2000名学生的手机使用情况，将这些学生编号为1，2，…，2000，从这些学生中用系统抽样方法抽取200名学生进行调查．若58号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）

A、9号学生 B、300号学生 C、618号学生 D、816号学生

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3. 若 $\vec{a} = (x ， 2) ， \vec{b} = (- 3 ， 5)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是钝角，则实数x的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， \frac{10}{3})$ B、 $(- \infty ， \frac{10}{3}]$ C、 $(\frac{10}{3} ， + \infty)$ D、 $[\frac{10}{3} ， + \infty)$

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4. 抽样统计某校部分学生的物理测试成绩，得到样本频率分布直方图如图所示，若满分为100分，规定不低于60分为及格，则及格率是（）

A、20% B、25% C、6% D、80%

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5. 若 $s i n θ - c o s θ = \frac{1}{2}$ ，则 $s i n θ c o s θ =$ （）

A、 $- \frac{3}{8}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $- \frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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6. 把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”的关系是（）

A、既不互斥也不对立 B、互斥又对立 C、互斥但不对立 D、对立

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7. 在五场篮球比赛中，甲、乙两名运动员得分的茎叶图如图所示，下列说法正确的是（）

A、甲的平均得分比乙多，且甲比乙稳定 B、甲的平均得分比乙多，但乙比甲稳定 C、乙的平均得分比甲多，且乙比甲稳定 D、乙的平均得分比甲多，但甲比乙稳定

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8. 若tan θ＝－ $\frac{1}{3}$ ，则cos 2θ＝（）

A、－ $\frac{4}{5}$ B、－ $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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9.
如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，某同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了四种测量方案：（△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c）
①测量A，C，b．②测量a，b，C．③测量A，B，a．④测量a，b，B．
则一定能确定A，B间距离的所有方案的序号为（　　）

A、①②③ B、②③④ C、①③④ D、①②③④

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10. 阅读程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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11. 某同学掷骰子5次，并记录了每次骰子出现的点数，得出平均数为2，方差为2.4的统计结果，则下列点数中一定不出现的是（）

A、1 B、2 C、5 D、6

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12. 已知函数 $f (x) = 2 c o s (ω x + \frac{π}{6})$ 在区间 $(- \frac{π}{3} ， \frac{π}{4})$ 上的最小值小于零，则 $ω$ 可取的最小正整数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 在菱形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = 6 0^{∘}$ ， $| \vec{A B} | = 1$ ，则 $| \vec{A B} - \vec{A D} | =$ .

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14. 函数 $y = \sqrt{2 \sin x - 1}$ 的定义域是.

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15. 如图，一个力 $F$ 作用于小车 $G$ ，使小车 $G$ 发生了40米的位移， $F$ 的大小为50牛，且与小车的位移方向（ $s$ 的方向）的夹角为60º力 $F$ 做的功为牛·米.

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16. 已知 $t a n (α - β) = \frac{1}{2}$ ， $t a n β = - \frac{1}{7}$ ，则 $t a n (2 α - β) =$ .

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三、解答题

17. 已知 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，且 $t a n^{2} α - t a n α - 2 = 0$ .
（Ⅰ）求 $t a n (π - α)$ 的值；
（Ⅱ）求 $\frac{s i n (\frac{2021 π}{2} + α) - s i n (2021 π - α)}{c o s (- α) + 2 s i n (π + α)}$ 的值.

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $2 b c o s A = c c o s A + a c o s C$ .
(Ⅰ)求角 $A$ 的大小；
(Ⅱ)若 $a = \sqrt{7}$ ， $b + c = 4$ ，求 $b c$ 的值.

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19. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 在同一平面上，且 $\vec{a} = (- 2, 1)$ .

(1)、若 $\vec{a} / / \vec{c}$ ，且 $| \vec{c} | = 25$ ，求向量 $\vec{c}$ 的坐标﹔

(2)、若 $\vec{b} = (3, 2)$ ，且 $k \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 垂直，求 $k$ 的值.

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20. 有7位歌手（1至7号）参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：
组别
$A$
$B$
$C$
$D$
$E$
人数
50
100
150
150
50

(1)、为了调查大众评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从 $B$ 组中抽取了6人.请将其余各组抽取的人数填入下表：
组别
$A$
$B$
$C$
$D$
$E$
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
6

(2)、在（1）的前提下，若 $A$ ， $B$ 两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率.

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21. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， - \frac{π}{2} \leq φ < \frac{π}{2})$ 的图像关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称，且图像与 $x$ 轴的相邻交点的距离为 $\frac{π}{2}$ .
（Ⅰ）求 $f (\frac{π}{4})$ 的值；
（Ⅱ）将函数 $y = f (x)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后，得到 $y = g (x)$ 的图像，求 $g (x)$ 的单调递减区间.

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22. 某科技公司对某款产品在2020年1月至6月的月销售量及月销售单价进行了调查，月销售单价 $x$ 和月销售量 $y$ 之间的一组数据如下表所示.已知变量 $y$ 与 $x$ 具有线性相关关系.
月份
1
2
3
4
5
6
月销售单价 $x$ （百元）
9
8.8
8.6
8.4
8.2
8
月销售量 $y$ （万件）
68
75
80
83
84
90
（Ⅰ）求出 $y$ 关于 $x$ 的回归直线方程；
（Ⅱ）预计在今后的销售中，月销售量与月销售单价仍然服从（Ⅰ）中的关系，若该种产品的成本是350元/件，则该产品的月销售单价应定为多少元才能获得最大月利润？（利润＝销售收入－成本）
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .
参考数据： $\sum_{i = 1}^{6} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = - 14$ .

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月份	1	2	3	4	5	6
月销售单价 $x$ （百元）	9	8.8	8.6	8.4	8.2	8
月销售量 $y$ （万件）	68	75	80	83	84	90

组别	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$
人数	50	100	150	150	50

组别	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$
人数	50	100	150	150	50
抽取人数		6