陕西省渭南市富平县2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-04-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知角 $θ$ 的终边过点 $(1 ， - 1)$ ，则 $c o s θ =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、-1 D、1

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2. 某工厂生产的产品合格率是99.99%，这说明（）

A、该厂生产的10000件产品中不合格的产品一定有1件 B、该厂生产的100件产品中合格的产品一定有99件 C、该厂生产的10件产品中没有不合格产品 D、该厂生产的产品合格的可能性是99.99%

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3. 下列表达式中，正确的是（）

A、 $s i n (α + β) = c o s α s i n β + s i n α c o s β$ B、 $c o s (α + β) = c o s α c o s β + s i n α s i n β$ C、 $s i n (α - β) = c o s α s i n β - s i n α c o s β$ D、 $c o s (α - β) = c o s α c o s β - s i n α s i n β$

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4. 某公司有1000名员工，其中：高层管理人员为50名，属于高收入者；中层管理人员为150名，属于中等收入者；一般员工为800名，属于低收入者．要对这个公司员工的收入情况进行调查，欲抽取100名员工，应当抽取的一般员工人数为（）

A、100 B、15 C、80 D、50

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5. 下列函数为奇函数的是（）

A、 $y = x^{2} + c o s x$ B、 $y = | s i n x |$ C、 $y = x^{2} s i n x$ D、 $y = c o s x - t a n x$

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6. 为调整某学校路段的车流量问题，对该学校路段 $1 ∼ 15$ 时的车流量进行了统计，折线图如图，则下列结论错误的是（）

A、9时前车流量在逐渐上升 B、车流量的高峰期在9时左右 C、车流量的第二高峰期为12时 D、9时开始车流量逐渐下降

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7. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，E是 $D C$ 的中点．若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ，则 $\vec{B E} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \vec{b}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \vec{b}$

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8. 在区间 $(0 ， 1)$ 随机取一个数，则取到的数小于 $\frac{1}{3}$ 的概率为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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9. 河水的流速为2 $m / s$ ，一艘小船想沿垂直于河岸方向以10 $m / s$ 的速度驶向对岸，则小船的静水速度为（）

A、10 $m / s$ B、 $2 \sqrt{26} m / s$ C、 $4 \sqrt{6} m / s$ D、12 $m / s$

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10. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则下列判断正确的是（）

A、甲与丙是互斥事件 B、乙与丙是对立事件 C、甲与丁是对立事件 D、丙与丁是互斥事件

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11. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{3})$ （ $ω > 0$ ），若 $f (x)$ 的图像在 $[0 ， \frac{2 π}{3}]$ 上与x轴恰有两个交点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{5}{2} ， 4)$ B、 $(\frac{5}{2} ， 4)$ C、 $(6 ， 9)$ D、 $[\frac{5}{2} ， 4]$

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二、多选题

12. 有一组样本数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ ，由这组数据得到新样本数据 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， …， $y_{n}$ ，其中 $y_{i} = x_{i} + c$ （ $i = 1$ 1，2，…，n），c为非零常数，则下列说法错误的是（）

A、两组样本数据的样本平均数相同 B、两组样本数据的样本众数不同 C、两组样本数据的样本标准差相同 D、两组样本数据的样本极差相同

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三、填空题

13. 某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：
66 67 40 67 14 64 05 71 95 86 11 05 65 09 68 76 83 20 37 90
57 16 00 11 66 14 90 84 45 11 75 73 88 05 90 52 83 20 37 90
若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第2个样本编号是．

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14. 若 $t a n α = - \frac{4}{3}$ ，则 $s i n α c o s α =$ ．

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15. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 3) ， \vec{b} = (3 ， 4)$ ，若 $(\vec{a} - λ \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $λ =$ ．

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16. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36º的等腰三角形(另一种是顶角为108º的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金 $△ A B C$ 中， $\frac{B C}{A C} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ .根据这些信息，可得 $c o s 144 ° =$ .

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四、解答题

17. 化简求值：

(1)、 $\frac{s i n (2 π - α) c o s (3 π + α) c o s (\frac{3 π}{2} + α)}{s i n (- π + α) s i n (3 π - α) c o s (- α - π)}$ ；

(2)、 $\frac{t a n 315 ° + t a n 570 °}{t a n (- 60 °) - t a n 675 °}$ ．

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18. 设平面三点 $A (1 ， 0) ， B (0 ， 1) ， C (2 ， 5)$ .

(1)、试求向量 $2 \vec{A B} + \vec{A C}$ 的模；

(2)、若向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 的夹角为 $θ$ ，求 $c o s θ$ .

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19. 为了了解某地高中学生的体能状况，抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图．为提高本地学生的身体素质，教育主管部门要求，每分钟跳绳不超过120次的学生，需要增加平时体育锻炼的时间．

(1)、求x值；

(2)、若该地区有6000名高中学生，估计其中需要增加平时体育锻炼时间的人数．

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20. 一个小组的3个学生在分发数学作业时，从他们3人的作业中各随机地取出了一份作业．

(1)、每个学生恰好拿到自己作业的概率是多少？

(2)、3个学生不都拿到自己作业的概率是多少？

(3)、每个学生拿的都不是自己作业的概率是多少？

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21. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (2 x - \frac{π}{3})$ ，将 $f (x)$ 的图象向左平移 $t (\frac{π}{2} < t < π)$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象.

(1)、若 $g (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{6} ， 0)$ 对称，求函数 $g (x)$ 的解析式；

(2)、在（1）的条件下，当 $x \in [- \frac{π}{2} ， - \frac{π}{4}]$ 时，求不等式 $g (x) < \sqrt{3}$ 的解集.

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22. 保障农村农民的生活达到富裕是全面建设社会主义现代化国家的一个关键指标．某地区实施乡村振兴战略规划，农村居民的收入逐年增加，可支配消费支出也逐年增加．该地区统计了2016年-2020年本地农村居民人均消费支出情况，如下表所示．已知变量y与x具有线性相关关系．
年份
2016年
2017年
2018年
2019年
2020年
年份代号x
1
2
3
4
5
人均年消费支出y（单位：万元）
1.01
1.10
1.21
1.33
1.40
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．
参考数据： $\bar{y} = 1.21$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 19.16$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 55$ ．

(1)、求y关于x的线性回归方程，并预测2021年该地区农村居民人均消费支出；

(2)、在国际上，常用恩格尔系数（食品支出总额占个人消费生活用品支出总额的比重）来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况．恩格尔系数在60%以上的为绝对贫困，50%~60%为温饱，40%~50%为小康，30%~40%为富裕．已知2020年该地区农村居民人均消费支出构成情况如图所示，预测2021年该地区农村居民人均食品支出比2020年增长3%，根据恩格尔系数判断2021年底该地区农村居民人均生活水平能否达到富裕生活标准．

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年份	2016年	2017年	2018年	2019年	2020年
年份代号x	1	2	3	4	5
人均年消费支出y（单位：万元）	1.01	1.10	1.21	1.33	1.40