陕西省渭南市大荔县2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-04-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 某小区人数约30000人，创城期间，需对小区居民进行分层抽样调查，样本中有幼龄120人，青壮龄330人，老龄150人，则该小区老龄人数的估计值为（）

A、3300 B、4500 C、6000 D、7500

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2. 已知角 $θ$ 终边经过点 $P (\sqrt{2}, a)$ ，若 $θ = - \frac{π}{3}$ ，则 $a =$ （）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $- \sqrt{6}$ D、 $- \frac{\sqrt{6}}{3}$

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3. 某地依托“互联网+智慧农业”推动精准扶贫．其地域内A山村的经济收入从2018年的4万元，增长到2019年的14万元，2020年更是达到52万元，在实现华丽蜕变的过程中，村里的支柱性收入也在悄悄发生变化，具体如下图所示，则下列结论正确的是（）

A、2020年外出务工收入比2019年外出务工收入减少 B、种植收入2020年增长不足2019年的2倍 C、2020年养殖收入与2019年其它收入持平 D、2020年其它收入比2019年全部收入总和高

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4. 下列各式中不能化简为 $\vec{A D}$ 的是（）

A、 $(\vec{A B} - \vec{D C}) - \vec{C B}$ B、 $\vec{A D} - (\vec{C D} + \vec{D C})$ C、 $- (\vec{C B} + \vec{M C}) - (\vec{D A} + \vec{B M})$ D、 $- \vec{B M} - \vec{D A} + \vec{M B}$

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5. 我国唐代天文学家、数学家张逐以“李白喝酒”为题材写了一道算题：“李白街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒，原有多少酒？”如图是源于其思想的一个程序框图，即当输出的 $m = 0$ 时，输入的 $m$ 的值是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{7}{8}$ C、 $\frac{15}{16}$ D、4

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6. 已知向量 $\vec{a} = (- 1, 2), \vec{b} = (2, m)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、-4 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、4

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7. 下列命题：①钝角是第二象限的角；②小于90º的角是锐角；③第一象限的角一定不是负角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表时针走过2小时，时针转过的角度为60º；⑥若 $α = 5$ ，则 $α$ 是第四象限角．其中正确的题的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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8. 已知 $t a n α = 2$ ，则 $\frac{2 s i n^{2} α + c o s^{2} α}{s i n^{2} α - c o s^{2} α}$ 的值为（）

A、9 B、6 C、-2 D、3

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9. 甲、乙两位同学将高三6次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩均为整数，满分100分），乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于90分且不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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10. 已知 $α, β$ 均为锐角， $\cos α = \frac{\sqrt{2}}{2}, \cos (α + β) = - \frac{2}{3}$ ，则 $\sin β =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{10} + 2 \sqrt{2}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{10} + 2 \sqrt{2}}{6}$ 或 $\frac{\sqrt{10} - 2 \sqrt{2}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{10} - 2 \sqrt{2}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 2}{6}$

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11. 高三模拟考试常常划定的总分各批次分数线，通过一定的数学模型，确定不同学科在一本、二本等各批次“学科上线有双分”的分数线．考生总成绩达到总分各批次分数线的称为总分上线；考生某一单科成绩达到及学科上线有双分的称为单科上线．学科对总分的贡献或匹配程度评价有很大的意义．利用“学科对总分上线贡献率”

(\frac{双 上 线 人 数}{总 分 上 线 人 数} \times 100 %)

和“学科有效分上线命中率”

(\frac{双 上 线 人 数}{单 上 线 人 数} \times 100 %)

这两项评价指标，来反映各学科的单科成绩对考生总分上线的贡献与匹配程度，这对有效安排备考复习计划具有十分重要的意义．某州一诊考试划定总分一本线为465分，数学一本线为104分，某班一小组的总分和数学成绩如表，则该小组“数学学科对总分上线贡献率、有效分上线命中率”分别是（）（结果保留到小数点后一位有效数字）

学生编号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
数学成绩	120	117	122	101	100	112	99	111	102	100	89	98	92	84	94	113	97	104	85	85
总分成绩	495	494	493	485	483	483	482	480	479	475	471	470	463	457	454	453	448	448	441	440

A、41.7%，71.4% B、60%，71.4% C、41.7%，35% D、60%，35%

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12. 已知 $A M ， B N$ 分别为圆 $O_{1} ： {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 与 $O_{2} ： {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 的直径，则 $\vec{A B} \cdot \vec{M N}$ 的取值范围为（）

A、 $[0 ， 8]$ B、 $[0 ， 9]$ C、 $[1 ， 8]$ D、 $[1 ， 9]$

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二、填空题

13. 已知一组数据 $4, 2 a, 3 - a, 5, 6$ 的平均数为4，则a的值是.

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14. 若扇形的圆心角为30º，半径为1，则扇形的面积为.

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15. 小明家的晚报在下午5：30~6：30之间的任何一个时间随机地被送到，小明一家人在下午6：00~7：00之间的任何一个时间随机地开始晚餐，那么晚报在晚餐开始之前被送到的概率是.

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16. 我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理，成就了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”．如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形 $E F G H$ 拼成的一个大正方形 $A B C D$ ，若直角三角形中 $A F = a$ ， $B F = b$ ，较小的锐角 $∠ F A B = α$ ．若 ${(a + b)}^{2} = 196$ ，正方形 $A B C D$ 的面积为100，则 $\cos 2 α =$ ， $\sin \frac{α}{2} - \cos \frac{α}{2} =$ ．

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三、解答题

17. 自从新冠肺炎疫情暴发以来，各地都采取积极有效的防控措施，使疫情得到了有效的控制．某地对100名年龄在 $[20 ， 45]$ 岁，患病后已经康复的居民做了数据统计，绘成如图所示不完整的频率分布直方图．统计员在绘制频率分布直方图的过程中所搜集的数据只能确定年龄在 $[30 ， 35)$ 与 $[40 ， 45]$ 的新冠肺炎康复人数之和是年龄在 $[35 ， 40)$ 的新冠肺炎康复人数的3倍，且 $[30 ， 35)$ 组的频率比 $[40 ， 45]$ 组的频率多0.15．

(1)、分别求 $[30 ， 35)$ ， $[35 ， 40)$ ， $[40 ， 45]$ 组对应的频率；

(2)、求年龄在 $[35 ， 45]$ 的新冠肺炎康复人数．

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18. 已知角 $α$ 的顶点与坐标原点 $O$ 重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边过点 $P (- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ .

(1)、求 $\sin α$ ， $\cos (π - α)$ ；

(2)、若角 $β$ 满足 $\tan (α - β) = \frac{1}{3}$ ，求 $\tan (2 α - β)$ 的值.

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19. 已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ = \frac{3 π}{4}$ ，且 $| \vec{a} | = 3$ ， $| \vec{b} | = 2 \sqrt{2}$ ．

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ， $| \vec{a} + \vec{b} |$ ；

(2)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角的余弦值．

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20. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式和单调递增区间；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，得到函数 $g (x)$ 的图象，求函数 $h (x) = \frac{1}{2} f (x) + g^{2} (x)$ 的值域．

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21. 在新高考中我市采用了“3+1+2”模式，对化学､生物､地理和政治等四门选考科目，制定了计算转换T分(即记入高考总分的分数)的“等级转换赋分规则”(详见附1和附2)，具体的转换步骤为：①原始分Y等级转换；②原始分等级内等比例转换赋分.我校高二年级在期末考试后，政治､化学两选考科目的原始分分布如表：

等级	A	B	C	D	E
比例	约15%	约35%	约35%	约13%	约2%
政治学科各等级对应的原始分区间	[81，98]	[72，80]	[66，71]	[63，65]	[60，62]
化学学科各等级对应的原始分区间	[90，100]	[77，89]	[69，76]	[66，68]	[63，65]

现从政治､化学两学科中分别随机抽取了20个原始分成绩数据如下：

政治：64，72，66，92，78，66，82，65，76，67，74，80，70，69，84，75，68，71，60，79

化学：72，79，86，75，83，89，64，98，73，67，79，84，77，94，71，81，74，69，91，70

并根据上述数据制作了如下的茎叶图：

(1)、茎叶图中各序号位置应填写的数字分别是：①应填， ②应填， ③应填， ④应填， ⑤应填， ⑥应填.

(2)、甲同学选考政治学科，其原始分为82分，乙同学选考化学学科，其原始分为91分.基于新高考实测的转换赋分模拟，试分别探究这两位同学的转换分，并从公平性的角度谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法.

(3)、若从我校政治､化学学科等级为A的学生中，随机挑选2人次(两科都选，且两科成绩都为A等的学生，可有两次被选机会)，试估计这2人次挑选，其转换分都不少于91分的概率.

附1：等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间.

等级	A	B	C	D	E
原始分从高到低排序的等级人数占比	约15%	约35%	约35%	约13%	约2%
转换分T的赋分区间	[86，100]	[71，85]	[56，70]	[41，55]	[30，40]

附2：计算转换分T的等比例转换赋分公式： $\frac{Y_{2} - Y}{Y - Y_{1}} = \frac{T_{2} - T}{T - T_{1}}$ (其中：Y₁ ， Y₂别表示原始分Y对应等级的原始分区间下限和上限；T₁ ， T₂分别表示原始分对应等级的转换分赋分区间下限和上限.T的计算结果按四舍五入取整).

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22. 已知向量 $\vec{a} = (c o s \frac{3 x}{2} ， s i n \frac{3 x}{2})$ ， $\vec{b} = (c o s \frac{x}{2} ， - s i n \frac{x}{2})$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} - m | \vec{a} + \vec{b} | + 1$ ， $x \in [- \frac{π}{3} ， \frac{π}{4}]$ ， $m \in R$ .

(1)、当 $m = 0$ 时，求 $f (\frac{π}{6})$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 的最小值为 $- 1$ ，求实数m的值；

(3)、是否存在实数 $m$ ，使函数 $g (x) = f (x) + \frac{24}{49} m^{2}$ ， $x \in [- \frac{π}{3} ， \frac{π}{4}]$ 有四个不同的零点？若存在，求出 $m$ 的取值范围；若不存在，说明理由.

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