高中数学人教A版（2019）必修二第六章平面向量

试卷更新日期：2022-04-27 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $| \vec{a} | = 4$ ， $| \vec{b} | = 3$ ，且 $\vec{a}$ ､ $\vec{b}$ 的夹角为60º，如果 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - m \vec{b})$ ，那么 $m$ 的值为（）

A、 $\frac{7}{6}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{2}{3}$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， 2)$ ， $\vec{b} = (1 ， 4)$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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3. 已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ $= - \frac{1}{4}$ ，若向量 $\vec{c} = \vec{a} + 2 \vec{b}$ ，则 $c o s$ 〈 $\vec{a}$ ， $\vec{c}$ 〉=（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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4. 如图，在等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B = 2 C D$ ， $\vec{B C} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D}$ ，则 $λ - μ =$ （）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $- \frac{5}{4}$ D、 $\frac{5}{4}$

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5. 若 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.面积 $S = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4} = \frac{a^{2}}{3 s i n A}$ ，则 $s i n B =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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6. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， 1)$ ，则下列错误的是（）

A、 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ B、与向量 $\vec{a}$ 共线且同向的单位向量是 $(\frac{2 \sqrt{5}}{5} ， \frac{\sqrt{5}}{5})$ C、 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ D、向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量是 $\frac{3}{5} \vec{b}$

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7. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 $a^{2} = b^{2} + c^{2} + b c$ ，则A=（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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8. 已知 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若 $a = 2 ， b = 4 ， c o s C = \frac{1}{4}$ ，则 $△ A B C$ 的周长为（）

A、9 B、10 C、12 D、14

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二、多选题

9. 若不共线向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} - \vec{b} | = | \vec{b} |$ ，则下列结论中正确的是（）

A、向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 的夹角恒为锐角 B、 $2 {| \overset{⇀}{b} |}^{2} < \overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b}$ C、 $| 2 \vec{b} | > | \vec{a} - 2 \vec{b} |$ D、 $| 2 \overset{⇀}{a} | < | 2 \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} |$

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10. 在 $△ A B C$ 中各角所对得边分别为a，b，c，下列结论正确的有（）

A、 $\frac{a}{c o s A} = \frac{b}{c o s B} = \frac{c}{c o s C}$ 则 $△ A B C$ 为等边三角形； B、已知 $(a + b + c) (a + b - c) = 3 a b$ ，则 $∠ C = 6 0^{∘}$ ； C、已知 $a = 7$ ， $b = 4 \sqrt{3}$ ， $c = \sqrt{13}$ ，则最小内角的度数为 $3 0^{∘}$ ； D、在 $a = 5$ ， $A = 6 0^{∘}$ ， $b = 4$ ，解三角形有两解．

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11. 下列说法正确的是（）

A、在△ABC中，满足 $a = \sqrt{3} ， b = 3 ， B = \frac{π}{3}$ 的三角形有两个 B、在△ABC中，若 $s i n 2 A = s i n 2 B$ ，则 $A = B$ C、在△ABC中， $s i n A > s i n B$ 是 $A > B$ 的充要条件 D、在△ABC中， $\frac{a}{s i n A} = \frac{b + c}{s i n B + s i n C}$

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12. 如图，设 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $\sqrt{3} (a c o s C + c c o s A) = 2 b s i n B$ ，且 $∠ C A B = \frac{π}{3}$ ．若点D是 $△ A B C$ 外一点， $D C = 1$ ， $D A = 3$ ，下列说法中，正确的命题是（）

A、 $△ A B C$ 的内角 $B = \frac{π}{3}$ B、 $△ A B C$ 一定是钝角三角形 C、四边形ABCD面积的最大值为 $\frac{5 \sqrt{3}}{2} + 3$ D、四边形ABCD面积无最大值

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三、填空题

13. 已知 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 3$ ，若 $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{17}$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ .

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14. 已知 $\vec{O A} = (0 ， 3)$ ， $\vec{O B} = (1 ， 2 k + 1)$ ， $\vec{O C} = (1 - k ， - 5)$ ，且 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点共线，则实数 $k =$ .

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15. 已知 $△ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ， $A B = 2$ ， $∠ B = \frac{π}{3}$ ，则 $\frac{s i n B}{s i n C} =$ ．

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16. 在 $△ A B C$ 中， $M$ 是 $B C$ 的中点，若 $A M = 2$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = - 12$ ，则 $B C$ 的边长为．

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四、解答题

17. 在平面直角坐标系 $x o y$ 中，O为坐标原点，已知点 $A (3 ， 0)$ ， $B (0 ， 3)$ ， $C (c o s α ， s i n α)$ .

(1)、若 $\vec{O C} / / \vec{A B}$ ，且 $α \in (0 ， π)$ ，求角 $α$ 的值；

(2)、若 $\vec{A C} \cdot \vec{B C} = \frac{1}{4}$ ，求 $\frac{2 s i n^{2} α - c o s (2 α + \frac{π}{2})}{1 + t a n (α - π)}$ 的值.

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18. 已知单位向量 $\vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，向量 $\vec{a} = \vec{e_{1}} - x \vec{e_{2}}$ ，向量 $\vec{b} = 3 \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ .

(1)、若 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ，求x的值；

(2)、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，求 $| \vec{a} |$ .

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19. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $Δ A B C$ 内角A，B，C的对边，若 $Δ A B C$ 同时满足下列四个条件中的三个：① $\frac{b - a}{c} = \frac{2 \sqrt{6} a + 3 c}{3 (a + b)}$ ；② $c o s 2 A + 2 c o s^{2} \frac{A}{2} = 1$ ；③ $a = \sqrt{6}$ ；④ $b = 2 \sqrt{2}$ .

(1)、满足有解三角形的序号组合有哪些？

(2)、在（1）所有组合中任选一组，并求对应 $Δ A B C$ 的面积.
（若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）

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20. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{b c} = \frac{2 s i n B - s i n A}{s i n C}$ .

(1)、求角C的值：

(2)、若边 $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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21. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且满足 $(2 a + c) \cdot \vec{B C} \cdot \vec{B A} + c \cdot \vec{C A} \cdot \vec{C B} = 0$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{3}$ ，求 $a^{2} + c^{2}$ 的取值范围.

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22. 如图所示，在 $△ A B C$ 中，D是边 $B C$ 的中点， $E$ 是线段 $A D$ 的中点.过点E的直线与边 $A B$ ， $A C$ 分别交于点 $P$ ， $Q$ .设 $\vec{P B} = λ \vec{A P}$ ， $\vec{Q C} = μ \vec{A Q}$ ， $λ$ ， $μ \geq 0$ .

(1)、化简： $2 \vec{E A} + \vec{E B} + \vec{E C}$ ；

(2)、求证： $λ + μ$ 为定值；

(3)、设 $△ A P Q$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围.

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高中数学人教A版（2019） 必修二 第六章 平面向量

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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