陕西省宝鸡市金台区2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-04-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 实数 $1 ， a ， 16$ 为数列比数列，则 $a =$ （）

A、-4 B、4 C、2 D、-4或4

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2. 在 $Δ A B C$ 中， $a = \sqrt{3}$ ， $b = 4$ ， $C = \frac{π}{3}$ ，则 $Δ A B C$ 的面积为（）

A、3 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 已知数列 $1 ， 2 ， \sqrt{7} ， \sqrt{10} ， \sqrt{13} ， ⋯ ， \sqrt{3 n - 2} ， ⋯$ 中， $2 \sqrt{7}$ 是这个数列的（）

A、第10项 B、第11项 C、第12项 D、第13项

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4. 已知 $t a n α = - \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{2 s i n α c o s α}{s i n^{2} α - c o s^{2} α}$ 的值是（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、3 C、 $- \frac{4}{3}$ D、-3

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5. 已知 $t a n α + t a n β = 2$ ， $t a n (α + β) = 4$ ，则 $t a n α \cdot t a n β$ 等于（）

A、2 B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、4

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6. 根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（）

A、 $a = 8 ， b = 16 ， ∠ A = 30 °$ ，有两解 B、 $b = 18 ， c = 20 ， ∠ B = 60 °$ ，有唯一解 C、 $a = 5 ， b = 2 ， ∠ A = 90 °$ ，无解 D、 $a = 30 ， b = 25 ， ∠ A = 150 °$ ，有唯一解

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7. $《$ 九章算术 $》$ 中有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日共织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则该女子前六日共织（）尺布.

A、18 B、21 C、23 D、25

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8. 数列 $1 \frac{1}{2} ， 3 \frac{1}{4} ， 5 \frac{1}{8} ， 7 \frac{1}{16} ， ⋯ ， (2 n - 1) + \frac{1}{2^{n}} ， ⋯$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 的值等于（）

A、 $n^{2} + 1 - \frac{1}{2^{n}}$ B、 $2 n^{2} - n + 1_\frac{1}{2^{n}}$ C、 $n^{2} + 1 - \frac{1}{2^{n - 1}}$ D、 $n^{2} - n + 1 - \frac{1}{2^{n}}$

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9. 计算 $s i n 140 ° c o s 50 ° + s i n 130 ° c o s 40 °$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、-1

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10. 在 $Δ A B C$ 中， $a = 2$ ， $A = 45 °$ ， $B = 30 °$ ，则 $b$ 的值及 $Δ A B C$ 外接圆的半径分别为（）

A、 $\sqrt{2}$ ， $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ ， $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$ ， $2 \sqrt{2}$

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11. 等差数列 ${a_{n}} (n \in N^{*})$ 的公差为d，前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} > 0, d < 0, S_{3} = S_{9}$ ，则当 $S_{n}$ 取得最大值时， $n =$ （）

A、4 B、5 C、6 D、7

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12. 若 $(a + b + c) (b + c - a) = 3 b c$ ，且 $\sin A = 2 \sin B \cos C$ ，那么 $△ A B C$ 是（）

A、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形

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二、填空题

13. 在 $△ A B C$ 中， $A = 45 °$ ， $a = 6$ ， $b = 3 \sqrt{2}$ ，则 $B =$ ．

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14. 等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $q = 3$ ，则 $S_{4} =$ ．

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15. 在1和31之间插入14个数，使它们与1，31组成等差数列，则该数列的公差为.

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16. 在 $△ A B C$ 中， $a ， b ， c$ 是角 $A ， B ， C$ 所对的边长，若 $s i n A ： s i n B ： s i n C = 4 ： 5 ： 6$ ，则 $c o s C =$ ．

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三、解答题

17. 用一条30分米长的细铁丝折成一个边长均为整数的三角形，细铁丝不能有剩余，且该三角形三条边的边长由小到大排列，恰好是一个公差为 $k$ 的等差数列， $k$ 为正整数.

(1)、求 $k$ 的取值范围；

(2)、当 $k$ 取最大值时，求该三角形最大内角的余弦值；

(3)、当 $k$ 取最小值时，求该三角形最小内角的余弦值.

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18. 已知 $s i n α = \frac{5}{13}$ ， $c o s β = - \frac{4}{5}$ ， $α$ ， $β$ 均为第二象限角．

(1)、求 $c o s (α + β)$ 的值；

(2)、求 $t a n (α - β)$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = 4 s i n (x - \frac{π}{6}) c o s x$ ，求该函数的周期、值域及单调区间.

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20. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $b_{n}$ 为数列 ${S_{n}}$ 的前 $n$ 项积．已知 $\frac{3}{S_{n}} + \frac{1}{b_{n}} = 3$ .

(1)、证明：数列 ${b_{n}}$ 为等差数列.

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式.

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