辽宁省铁岭市六校2020-2021学年高一下学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2022-04-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 复数 $z$ 满足等式 $(2 - i) \cdot z = i$ ，则复数 $z$ 在复平面内对应的点所在的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知 $s i n (π - α) = \frac{1}{3}$ ，那么 $c o s 2 α =$ （）

A、 $- \frac{7}{9}$ B、 $- \frac{2}{9}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $\frac{7}{9}$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 1 ， 1)$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{13}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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4. 设m，n是两条不同的直线， $α$ 是平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $m / / α$ ， $n / / α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m / / α$ ， $n \subset α$ ，则 $m / / n$ C、若 $m / / n$ ， $n / / α$ ，则 $m / / α$ D、若 $m / / n$ ， $m ⊄ α$ ， $n \subset α$ ，则 $m / / α$

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5. 鼎是古代烹煮用的器物，它是我国青铜文化的代表，在古代被视为立国之器，是国家和权力的象征.图①是一种方鼎，图②是根据图①绘制的方鼎简易直观图，图中四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是鼎中盛烹煮物的部分，四边形 $A B C D$ 是矩形，其中 $A D = 40 c m$ ， $A B = 30 c m$ ， $A_{1} B_{1} = 20 c m$ ，点 $A_{1}$ 到平面 $A B C D$ 的距离为 $18 c m$ ，则这个方鼎一次最多能容纳的食物体积为（）
（假定烹煮的食物全在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内）

A、 $10400 c m^{3}$ B、 $14000 c m^{3}$ C、 $14800 c m^{3}$ D、 $15200 c m^{3}$

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6. 把函数 $y = f (x)$ 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到函数 $y = \sin (x - \frac{π}{4})$ 的图像，则 $f (x) =$ （）

A、 $\sin (\frac{x}{2} - \frac{7 π}{12})$ B、 $\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{12})$ C、 $\sin (2 x - \frac{7 π}{12})$ D、 $\sin (2 x + \frac{π}{12})$

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7. 已知三棱锥 $P - A B C$ 的高为1，底面 $△ A B C$ 为等边三角形， $P A = P B = P C$ ，且P，A，B，C都在体积为 $\frac{32 π}{3}$ 的球O的表面上，则该三棱锥的底面 $△ A B C$ 的边长为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、3 D、 $2 \sqrt{3}$

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8. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ 已知 $c = 2 \sqrt{5}$ ，且 $2 a s i n C c o s B = a s i n A - b s i n B + \frac{\sqrt{5}}{2} b s i n C$ ，点O满足 $\overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B} + \overset{⇀}{O C} = \vec{0}$ ， $c o s ∠ C A O = \frac{3}{8}$ ，则 $Δ A B C$ 的面积为（）

A、 $3 \sqrt{5}$ B、 $\frac{\sqrt{55}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{55}}{2}$ D、 $\sqrt{55}$

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二、多选题

9. 下列关于函数 $y = s i n (2 x + \frac{π}{3})$ 的说法正确的是（）

A、在区间 $[- \frac{5 π}{12} ， \frac{π}{12}]$ 上单调递增 B、最小正周期是π C、图象关于点 $(\frac{π}{12} ， 0)$ 成中心对称 D、图象关于直线 $x = - \frac{5 π}{12}$ 对称

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10. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，向量 $\vec{m} = (1 ， \sqrt{3})$ ， $\vec{n} = (c o s A ， s i n A)$ ，若 $\vec{m} / / \vec{n}$ ，且 $a c o s B + b c o s A = c s i n C$ ，则（）

A、 $A = \frac{π}{3}$ B、 $C = \frac{π}{6}$ C、 $B = \frac{π}{6}$ D、 $C = \frac{π}{2}$

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11. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，下列说法中正确的是（）

A、若 $△ A B C$ 为锐角三角形且 $A > B$ ，则 $\sin A > \cos B$ B、若 $\sin 2 A = \sin 2 B$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 C、若 $A > B$ ，则 $\sin A > \sin B$ D、若 $a = 8$ ， $c = 10$ ， $B = 60 °$ ，则符合条件的 $△ A B C$ 有两个

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12. 已知正四面体 $P A B C$ 的棱长为 $2 ， M 、 N$ 分别为 $P A 、 P B$ 的中点．下列说法正确的有（）

A、 $M N ⊥ P C$ B、异面直线 $B M$ 与 $P C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、该正四面体的体积为 $\sqrt{2}$ D、该正四面体的内切球体积为 $\frac{\sqrt{6}}{27} π$

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三、填空题

13. 若复数 $z$ 满足 $(1 - 2 i) z = 5$ ，则 $| z | =$ .

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14. 若 $t a n θ = - 2$ ，则 $\frac{s i n θ (1 + s i n 2 θ)}{s i n θ + c o s θ} =$ ．

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15. 已知点 $M$ 在平面 $A B C$ 内，并且对不在平面 $A B C$ 内的任意一点 $O$ ，都有 $\vec{A M} = x \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{3} \vec{O C}$ ，则 $x$ 的值为．

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16. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A C$ 与 $B D$ 交于 $O$ 点， $A_{1}$ 在底面的射影为 $O$ 点， $A A_{1}$ 与底面所成的角为 $6 0^{∘}$ ， $A B = 1$ ， $c o s ∠ A_{1} A D = c o s ∠ A_{1} A B = \frac{\sqrt{3}}{4}$ ，则对角线 $A C_{1}$ 的长为．

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四、解答题

17. 已知△ $A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a \sin C = \sqrt{3} c \cos A$ ．

(1)、求角 $A$ ．

(2)、若 $a = \sqrt{7}$ ， $c = 2$ 求△ $A B C$ 的面积．

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18. 如图，在直四棱柱 $ABCD - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $ABCD$ 为菱形， $E$ 为 $D D_{1}$ 中点．

(1)、求证： $B D_{1} / /$ 平面 $A C E$ ；

(2)、求证： $B D_{1} ⊥ A C$ ．

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19. 已知函数 $f (x) = {(\sin x + \cos x)}^{2} + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} \cos^{2} x (x \in R)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $△ A B C$ 的外接圆的直径为 $2 \sqrt{3}$ ，且锐角 $A$ 满足 $f (A) = 1 + \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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20. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $A D / / B C$ ， $∠ B C D = 9 0^{∘}$ ， $E$ ， $F$ 分别是棱 $B C$ ， $P C$ 的中点，且 $A D = C D = \frac{1}{2} B C = \sqrt{2}$ .

(1)、求证：平面 $P A B / /$ 平面 $F E D$ ；

(2)、若点 $P$ 在平面 $A B C D$ 内的射影 $H$ 恰为 $A B$ 的中点，设 $P H = 1$ ，求二面角 $C - E F - D$ 的余弦值.

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21. 已知 $\vec{a} = (s i n \frac{ω x}{2} ， \sqrt{3} c o s \frac{ω x}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2})$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3} c o s \frac{ω x}{2} ， \sqrt{3} c o s \frac{ω x}{2} - \frac{\sqrt{6}}{2})$ .其中 $ω > 0$ .设函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，如图是函数 $f (x)$ 在一个周期内的图象，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点， $△ A B C$ 为等边三角形.将函数 $f (x)$ 的图象上各点的横坐标变为原来的π倍后，再向右平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位，向上平移1个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图象.

(1)、求函数 $g (x)$ 的解析式；

(2)、若不等式 $3 s i n^{2} x - \sqrt{3} m \cdot g (π - 2 x) \leq m + 4$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，求实数m的取值范围.

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22. 如图，以 $A D$ 为直径的半圆 $O$ 所在平面与 $Δ P A D$ 所在平面垂直，点 $B$ ， $C$ 在半圆弧 $\overset{⌢}{A D}$ 上，且 $\overset{⌢}{A B} = \overset{⌢}{B C} = \overset{⌢}{C D}$ ， $P A = P D$ .

(1)、证明：平面 $P B O ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若 $A D = 2 \sqrt{3}$ ，且二面角 $P - C D - A$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ ，求直线 $P D$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值.

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