吉林省白山市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-04-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 复数 $z = \frac{3 + 2 i}{2 - i}$ 的实部是（）

A、 $\frac{8}{5}$ B、 $\frac{7}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $- \frac{7}{5}$

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2. 已知数据 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， \dots ， x_{n}$ 的方差为3，则数据 $2 x_{1} + 3$ ， $2 x_{2} + 3$ ， $2 x_{3} + 3$ ，… $2 x_{n} + 3$ 的方差是（）

A、3 B、6 C、9 D、12

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3. 在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $A B$ 的中点，点 $F$ 是 $D E$ 的中点，则 $\vec{A F} =$ （）

A、 $\frac{1}{4} \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{A D}$ B、 $\frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$ C、 $\frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A D}$ D、 $\frac{1}{4} \vec{A B} - \frac{3}{4} \vec{A D}$

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4. 某校举行校园歌手大赛，6位评委对某选手的评分分别为9.2，9.5，8.8，9.9，8.9，9.5，设该选手得分的平均数为x ，中位数为y ，众数为z ，则（）

A、 $x < y < z$ B、 $x < y = z$ C、 $y < x < z$ D、 $x < z < y$

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5. 已知 $l$ ， $m$ ， $n$ 是不重合的直线， $α$ ， $β$ 是不重合的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $α // β$ ， $n // α$ ，则 $n // β$ B、若 $m // α$ ， $m // β$ ，则 $α // β$ C、若 $α \cap β = n$ ， $m // n$ ，则 $m // β$ D、若 $m$ ， $n$ 是异面直线， $m // α$ ， $n // α$ ， $l ⊥ m$ 且 $l ⊥ n$ ，则 $l ⊥ α$

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6. 某校对该校800名高一年级学生的体重进行调查，他们的体重都处在A ， B ， C ， D四个区间内，根据调查结果得到如下统计图，则下列说法正确的是（）

A、该校高一年级有300名男生 B、该校高一年级学生体重在C区间的人数最多 C、该校高一年级学生体重在C区间的男生人数为175 D、该校高一年级学生体重在D区间的人数最少

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7. 在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $△ P A C$ 和 $△ A B C$ 均为等边三角形， $E ， F$ 分别是棱 $A B ， P C$ 的中点，则异面直线 $E F$ 与 $P B$ 所成角的正弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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8. 已知集合 $A = {- 2 ， 0 ， 3}$ ，且 $a \in A$ ， $b \in A$ ，则函数 $f (x) = a x^{2} + 3 x + b$ 有零点的概率是（）

A、 $\frac{7}{9}$ B、 $\frac{5}{9}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{2}{9}$

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二、多选题

9. 已知复数 $z_{1} = 3 + 4 i$ ， $z_{2} = a + b i (a ， b \in R)$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $a = - 3$ ，则 $z_{1} + z_{2}$ 是纯虚数 B、若 $z_{1} + z_{2}$ 是纯虚数，则 $a = - 3$ C、若 $4 a + 3 b = 0$ ，则 $z_{1} z_{2}$ 是实数 D、若 $z_{1} z_{2}$ 是实数，则 $4 a + 3 b = 0$

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10. 连续抛掷一个质地均匀的骰子（每个面上对应的数字分别为1，2，3，4，5，6）两次．事件A表示“第一次正面朝上的点数是奇数”，事件B表示“第二次正面朝上的点数是偶数”，事件C表示“两次正面朝上的点数之和小于6”，事件D表示“两次正面朝上的点数之和是9”，则下列说法正确的是（）

A、事件A与事件B为对立事件 B、事件A与事件B相互独立 C、事件C与事件D是互斥事件 D、事件C与事件D相互独立

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11. 在锐角 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，已知 $a = 2 b \cos B$ ，且 $b \neq c$ ，则（）

A、 $A = 2 B$ B、角B的取值范围是 $(0 ， \frac{π}{4})$ C、 $\cos A$ 的取值范围是 $(0 ， \frac{1}{2})$ D、 $\frac{a}{b}$ 的取值范围是 $(\sqrt{2} ， \sqrt{3})$

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12. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = \sqrt{3} A A_{1} = 2 \sqrt{3}$ ， $△ A B C$ 是等边三角形，点O为该三棱柱外接球的球心，则下列命题正确的是（）

A、 $A_{1} C_{1} //$ 平面 $A B_{1} C$ B、异面直线 $B_{1} C$ 与 $A A_{1}$ 所成角的大小是 $\frac{π}{6}$ C、球O的表面积是 $20 π$ D、点O到平面 $A B_{1} C$ 的距离是 $\frac{\sqrt{13}}{13}$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (- 3 ， x)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $x =$ ．

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14. 已知一圆锥的侧面展开图是半径为 $2 \sqrt{3}$ 的半圆，则该圆锥的体积是．

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15. 已知 $4 + 3 i$ 是方程 $x^{2} - a x + b = 0 (a ， b \in R)$ 的一个根，则 $a + b =$ ．

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16. 如图，已知两座山的高分别为 $M N = 30$ 米， $B C = 20$ 米，为测量这两座山峰 $M ， C$ 之间的距离，选择水平地面上一点 $A$ 为测量观测点，测得 $∠ M A N = 60^{\circ}$ ， $∠ C A B = 45^{\circ}$ ， $∠ B A N = 150^{\circ}$ ，则 $M C =$ 米．

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四、解答题

17. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为 $30^{\circ}$ ，且 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $| 2 \vec{a} - \vec{b} |$ 的值；

(2)、若 $(k \vec{a} - \vec{b}) ⊥ (2 \vec{a} - k \vec{b})$ ，求 $k$ 的值

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18. 某高校将参加该校自主招生考试的学生的笔试成绩按得分分成5组，得到的频率分布表如图1所示．该校为了选拔出最优秀的学生，决定从第4组和第5组的学生中用分层抽样法抽取60名学生进行面试，根据面试成绩（满分：100分），得到如图2所示的频率分布直方图．

组号	分组	频数	频率
第1组	$[150 ， 160)$	60	0.10
第2组	$[160 ， 170)$	150	0.25
第3组	$[170 ， 180)$	210	0.35
第4组	$[180 ， 190)$	150	0.25
第5组	$[190 ， 200]$	30	0.05
合计		600	1.00

图1

图2

(1)、求第4组和第5组的学生进入面试的人数之差；

(2)、若该高校计划录取15人，求该高校的录取分数．

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A B B_{1} = ∠ A C C_{1} = ∠ A C B = 90 °$ ，点 $O$ 为 $A_{1} B$ 的中点， $A C = B C = 2$ ， $A A_{1} = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、证明：平面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 平面ABC ．

(2)、求点 $B_{1}$ 到平面 $O A_{1} C_{1}$ 的距离．

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20. 端午节，又称端阳节、龙舟节、天中节等，源于中国人对自然天象的崇拜，由上古时代祭龙演变而来．端午节与春节、清明节、中秋节并称中国四大传统节日．某社区为丰富居民业余生活，举办了关于端午节文化习俗的知识竞赛，比赛共分为两轮．在第一轮比赛中，每位参赛选手均需参加两关比赛，若其在两关比赛中均达标，则进入第二轮比赛．已知在第一轮比赛中， $A ， B$ 第一关达标的概率分别是 $\frac{4}{5}$ ， $\frac{2}{3}$ ；第二关达标的概率分别是 $\frac{3}{4}$ ， $\frac{3}{5}$ ． $A ， B$ 在第一轮的每关比赛中是否达标互不影响．

(1)、分别求出 $A ， B$ 进入第二轮比赛的概率；

(2)、若 $A ， B$ 两人均参加第一轮比赛，求两人中至少有1人进入第二轮比赛的概率．

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21. 在① $a s i n B + \sqrt{3} b c o s A = 0$ ， ② $(a + b + c) (a - b - c) = - b c$ ， ③ $b s i n 2 A + a s i n B = 0$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且____．

(1)、求A；

(2)、若角A的角平分线 $A D = 1$ ，且 $c \geq 3$ ，求 $△ A B C$ 面积的最小值．

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22. 如图，在正四棱锥 $P - A B C D$ 中，点E ， F分别在棱PB ， PD上，且 $\frac{P E}{P B} = \frac{P F}{P D} = \frac{1}{3}$ ．

(1)、证明： $E F ⊥$ 平面PAC ．

(2)、在棱PC上是否存在点M ，使得 $P A //$ 平面MEF？若存在，求出 $\frac{P M}{M C}$ 的值；若不存在，说明理由．

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