黑龙江省鸡西市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-04-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 有下列事件：①在标准大气压下，水加热到80℃时会沸腾；②实数的绝对值不小于零；③某彩票中奖的概率为 $\frac{1}{100000}$ ，则买100000张这种彩票一定能中奖；④连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现2点向上.其中必然事件是（）

A、②③ B、③④ C、①②③④ D、②

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2. 已知 $a$ 是实数， $\frac{a + i}{1 - i}$ 是纯虚数，则 $a$ 等于（）

A、 $- \sqrt{2}$ B、-1 C、 $\sqrt{2}$ D、1

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3. 某单位有员工147人，其中女员工有63人.为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为21的样本，则男员工应选取的人数是（）

A、8 B、9 C、10 D、12

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4. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是边a，b，c，若 $a = 3 \sqrt{3}$ ， $c = 2$ ， $A + C = \frac{π}{6}$ ，则 $b =$ （）

A、 $\sqrt{13}$ B、6 C、7 D、8

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5. 已知 $α$ ， $β$ 是两个不同平面， $m$ ， $n$ 是两不同直线，下列命题中不正确的是（）

A、若 $m / / n$ ， $m ⊥ α$ ，则 $n ⊥ α$ B、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ β$ ，则 $α / / β$ C、若 $m / / α$ ， $α \cap β = n$ ，则 $m / / n$ D、若 $m ⊥ α$ ， $m \subset β$ ，则 $α ⊥ β$

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6. 袋中装有质地和大小相同的6个球，其中红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）

A、至少有一个白球；都是白球 B、至少有一个白球；至少有一个红球 C、至少有一个白球；红、黑球各一个 D、至多有一个红球；恰有两个红球

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7. 在 $△ A B C$ 中，角A､B､C所对的边分别为a､b､c，若 $s i n A ： s i n B ： s i n C = 4 ： 5 ： 6$ ，则最大角的余弦值为（）

A、 $- \frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{9}{16}$

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8. 某雷达测速区规定：凡车速大于或等于70 km/h的汽车视为“超速”，并将受到处罚．如图是某路段的一个检测点对300辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可得出将被处罚的汽车数为（）

A、30辆 B、40辆 C、60辆 D、80辆

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9. 在边长为3的菱形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = \frac{π}{3}$ ， $\vec{A M} = 2 \vec{M B}$ ，则 $\vec{D M} \cdot \vec{D B}$ =（）

A、 $- \frac{17}{2}$ B、-1 C、 $\frac{15}{2}$ D、 $\frac{9}{2}$

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10. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{3}$ ， $B C = 2$ ，点 $E$ ， $F$ 分别为 $B C$ ， $A D$ 的中点，将四边形 $C D E F$ 沿 $E F$ 翻折，使得平面 $C D E F ⊥$ 平面 $A B E F$ ，则异面直线 $B D$ 与 $A E$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{30}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{70}}{10}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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11. 在 $△ A B C$ 中，有下列四个命题：
① $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ ；② $\vec{A B} - \vec{A C} + \vec{B C} = \vec{0}$ ；③若 $(\vec{B C} + \vec{B A}) \cdot (\vec{B C} - \vec{B A}) = 0$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形；④若 $\vec{A C} \cdot \vec{A B} < 0$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形.
其中所有正确的命题序号有（）

A、①② B、①④ C、①②③ D、①②③④

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12. 已知三棱锥 $P - A B C$ 的顶点都在球O的球面上， $A B = A C = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $P B ⊥$ 平面ABC，若球O的体积为 $36 π$ ，则该三棱锥的体积是（）

A、 $\frac{4 \sqrt{7}}{3}$ B、5 C、 $\frac{8 \sqrt{7}}{3}$ D、 $\frac{8}{3}$

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二、填空题

13. 一组样本数据为m，0，1，2，3，若该样本的平均数为1，则样本方差为.

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14. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 3$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为60º，则 $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2 \vec{b}) =$ ．

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15. 如图，一个正四棱锥（底面为正方形且侧棱均相等的四棱锥）的底面的边长为4，高与斜高的夹角为30°，则正四棱锥的侧面积为.

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16. 已知在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $2 b \cos B = \sqrt{2} (a \cos C + c \cos A)$ ， $b = 2$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值是．

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三、解答题

17. 在平面直角坐标系内，已知三点 $A (2 ， 0)$ ， $B (1 ， 1)$ ， $C (3 ， 5)$ ，求：

(1)、 $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ 的坐标；

(2)、 $| \vec{A B} - \vec{A C} |$ 的值；

(3)、 $c o s ∠ B A C$ 的值.

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18. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A A_{1} = A_{1} C$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $B C$ ， $A C$ 的中点.

(1)、求证： $A B / /$ 平面 $A_{1} M N$ ；

(2)、求证： $A C ⊥ A_{1} M$ .

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19. 某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑（互不影响）的成绩在13s内（称为合格）的概率分别为 $\frac{2}{5}$ ， $\frac{3}{4}$ ， $\frac{1}{3}$ .若对这三名短跑运动员的100跑的成绩进行一次检测，则求：
（Ⅰ）三人都合格的概率；
（Ⅱ）三人都不合格的概率；
（Ⅲ）出现几人合格的概率最大.

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20. 新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动.开学后，某校采用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查. 已知该校高一年级共有学生660人，高三年级共有540人，抽取的样本中高二年级有50人. 下表是根据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时间(单位：

h

)的频率分布表.

分组	频数	频率
$[6 ， 6.5)$	5	0.10
$[6 ， 5.7)$	$x$	$y$
$[7 ， 7.5)$	7	0.14
$[7.5 ， 8)$	12	0.24
$[8 ， 8.5)$	$z$	0.20
$[8.5 ， 9]$	8	0.16
合计	50	1

(1)、求该校高二学生的总数；

(2)、求频率分布表中实数

x ， y ， z

的值

(3)、已知日睡眠时间在区间

[6 ， 6.5)

内的5名高二学生中，有2名女生，3名男生，若从中任选3人进行面谈，求选中的3人恰好为两男一女的概率.

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21. 在 $△ A B C$ 中角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a \sin 2 B + b \sin A = 0$ ，角 $B$ 的平分线交 $A C$ 于点 $D$ ， $B D = 2$ .

(1)、求角 $B$ 的大小.

(2)、证明： $\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{1}{2}$ .

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22. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是梯形， $A B ∥ C D$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A B = A D = P D = \frac{1}{2} C D$ ， $P D ⊥$ 平面ABCD，点E是棱PC上的一点.

(1)、证明：平面 $P B D ⊥$ 平面PBC；

(2)、是否存在一点E，使得 $P A ∥$ 平面BDE？若存在，请说明点E的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；

(3)、若三棱锥 $P - B C D$ 的体积是 $\frac{8}{3}$ ，求点D到平面PAB的距离.

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