广东省茂名市高州市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-04-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知向量 $\vec{a} = (- 2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (3 ， 0)$ ， $\vec{e}$ 是与 $\vec{b}$ 方向相同的单位向量，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $- \sqrt{5} \vec{e}$ B、 $\sqrt{5} \vec{e}$ C、 $- 2 \vec{e}$ D、 $2 \vec{e}$

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2. 复数z的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则“z为纯虚数”是“ $z + \bar{z} = 0$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $\vec{B C} = 2 \vec{A E} = 2 \vec{E D}$ ， $\vec{B F} = \frac{3}{4} \vec{B E}$ ，则 $\vec{C F} =$ （）

A、 $\frac{3}{4} \vec{B A} + \frac{5}{8} \vec{C B}$ B、 $\frac{3}{4} \vec{B A} - \frac{1}{3} \vec{B C}$ C、 $- \frac{1}{4} \vec{B A} + \frac{5}{8} \vec{B C}$ D、 $\frac{3}{4} \vec{B A} + \frac{5}{8} \vec{B C}$

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4. 哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”，如 $8 = 3 + 5$ ．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在“2，3，5，7，11”这5个素数中，任取两个素数，其和不是合数的概率是（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{7}{10}$

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5. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $c o s A = \frac{2}{3}$ ， $B = 2 A$ ．则 $\frac{b}{a} =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{6}{5}$

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6. 一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4， $x$ ， 7，8（其中 $x \neq 7$ ），若该组数据的中位数是众数的 $\frac{5}{4}$ 倍，则该组数据的方差和第60百分位数是（）

A、 $\frac{16}{3}$ ， 5 B、5，5 C、 $\frac{16}{3}$ ， 6 D、5，6

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7. 七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）

A、 $\frac{11}{32}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{13}{32}$ D、 $\frac{7}{16}$

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8. 已知正四面体 $A B C D$ 的表面积为 $2 \sqrt{3}$ ，且 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ， $D$ 四点都在球 $O$ 的球面上，则球 $O$ 的体积为（）

A、 $2 \sqrt{3} π$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4} π$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2} π$ D、3π

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二、多选题

9. 王老师往返两地的速度分别为 $m$ 和 $n (m < n)$ ，全程的平均速度为 $v$ ，则（）

A、 $v = \sqrt{m n}$ B、 $v = \frac{2 m n}{m + n}$ C、 $\sqrt{m n} < v < \frac{m + n}{2}$ D、 $m < v < \sqrt{m n}$

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10. $A$ 、 $B$ 、 $C$ 表示不同的点， $n$ ， $l$ 表示不同的直线， $α$ ， $β$ 表示不同的平面，下列说法错误的是（）

A、若 $α ∩ β = l$ ， $n / / α$ ， $n / / β$ ，则 $n / / l$ B、若 $A$ ， $B \in l$ ， $A$ ， $B \notin α$ ，则 $l / / α$ C、若 $A$ ， $B \in α$ ， $A$ 、 $B$ 、 $C \in β$ ， $α ∩ β = l$ ，则 $C \in l$ D、若 $α / / β$ ， $l \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $l / / n$

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11. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $| \vec{b} + \vec{c} | = 2 \sqrt{3}$ ，且 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 2$ ， $| \vec{c} | = 4$ ，向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ ， $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 与 $\vec{b} - λ \vec{c}$ 的夹角都是 $\frac{π}{3}$ ，则 $λ$ 的值可能为（）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、-1 D、1

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12. 对于函数 $f (x) = {\begin{array}{l} s i n x ， s i n x \geq c o s x ， \\ c o s x ， s i n x < c o s x ， \end{array}$ 下列说法中正确的是（）

A、 $f (x)$ 是以 $2 π$ 为最小正周期的周期函数 B、 $f (x)$ 的对称轴方程为 $x = k π + \frac{π}{4}$ ， $k \in Z$ C、 $f (x)$ 的最大值为1，最小值为 $- 1$ D、当且仅当 $2 k π - π < x < 2 k π - \frac{π}{2} (k \in Z)$ 时， $f (x) < 0$

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三、填空题

13. 事件 $A$ 、 $B$ 互相独立，若 $P (A B) = \frac{1}{6}$ ， $P (\bar{B} A) = \frac{1}{3}$ ，则 $P (A) =$ ．

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14. 已知线段 $A B$ 与平面 $α$ 相交， $A B$ 的长度为10，两端点到 $α$ 的距离分别为2和3，则 $A B$ 与 $α$ 所成角的大小为．

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15. 已知向量 ${b_{n}}$ ， $\vec{n} = (c o s \frac{x}{4} ， c o s^{2} \frac{x}{4})$ ，若 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ，则 $c o s (x - \frac{π}{3}) =$ ．

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16. 如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的棱长均为2，点M是侧棱 $A A_{1}$ 的中点，过 $B_{1} C$ 与平面 $B C M$ 垂直的平面与侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 的交线为l，则直线l与直线 $B C$ 所成角的余弦值为．

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四、解答题

17. 已知 $A (1 ， 1)$ ， $B (m ， 2)$ ， $C (- 2 ， 3)$ ， $D (- 1 ， n)$ 是复平面上的四个点，其中 $m$ ， $n \in R$ ，且向量 $\vec{B C}$ ， $\vec{A D}$ 对应的复数分别为 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ．

(1)、若 $z_{1} - z_{2} = 1 - i$ ，求 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ；

(2)、若 $| z_{1} + z_{2} | = \sqrt{2} | z_{1} | = 2$ ， $z_{2}$ 对应的点在复平面内的第二象限，求 $\frac{z_{2} - \sqrt{3} i}{z_{1} - 1}$ ．

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18. 为了调查中小学生课外使用互联网的情况，教育部向华东、华北、华南和西部地区60所中小学发出问卷10000份，10000名学生参加了问卷调查．根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如图）．

(1)、要从这10000名中小学生中用分层抽样的方法抽取100名中小学生做进一步调查．则在 $[1.5 ， 2)$ (小时)时间段内应抽出的人数是多少？

(2)、若希望使70%的中小学生每天使用互联网时间不少于 $x$ (小时)，请估计 $x$ 的值．

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19. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $2 a c o s B = 2 c - b$ ．

(1)、求角 $A$ 的值；

(2)、若 $2 b s i n B + 2 c s i n C = b c + \sqrt{3} a$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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20. 我市甲，乙两个企业都生产某种产品，贸易部门为将该种产品扩大市场份额．推向国内外，创造更高的收益，准备从甲、乙两个企业中选取优质的产品．参加2021年的广交会．现从甲、乙两个企业中各随机抽取5件产品进行质量检测．得到质量指数如下表：
甲
90
89
93
87
91
乙
92
88
90
88
92
规定：质量指数在90以上（包括90）的视为“优质品”，质量指数低于90的视为“合格品”以此样本估计总体，频率作为概率，求解以下问题：

(1)、若从甲．乙两个企业的优质品中随机取出2件去参加2021年的广交会，求取出的2件优质品中甲，乙企业各一件的概率；

(2)、若两个企业中只能选一个企业参加这次广交会，如果你是我市贸易部门的负责人，从产品质量的稳定性方面考虑，你会选择哪个企业？

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21. 如图，在棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 与A₁B₁C₁D₁互相平行且相似，底面 $A B C D$ 为菱形， $∠ B A D = 60 °$ ， $A B = 2 A_{1} B_{1} = 2$ ， $C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $t a n ∠ A_{1} A B = 1$ ．

(1)、平面 $A_{1} A B B_{1} ∩ C D D_{1} C_{1} = l$ ，求证： $l / /$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求三棱锥 $C - A_{1} D D_{1}$ 的体积．

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22. 已知函数 $f (x) = 2^{x} - 1$ ， $g (x) = a | 2^{x} - 1 |$ .

(1)、令 $h (x) = | f (2 x) | - g (x)$ ，求函数 $h (x)$ 的零点；

(2)、令 $T (x) = f (2 x) + f (- 2 x) - m [f (x) - f (- x)] + 1 (- 1 \leq x \leq 1)$ ，求函数 $T (x)$ 的最小值.

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甲	90	89	93	87	91
乙	92	88	90	88	92