广东省江门市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-04-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 复数 $z = 4 + 3 i$ （其中 $i$ 为数单位），则 $z$ 在复平面上对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 下列四个函数中，在定义域内是偶函数且在区间 $(\frac{π}{2} ， π)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = | s i n x |$ B、 $y = c o s x$ C、 $y = | t a n x |$ D、 $y = c o s 2 x$

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3. 为了更好了地解高中学生的身高发育情况，现抽取某中学高一年级的学生作为样木，其中某班的24位男生身高由低到高排序情况如下：164.0，165.0，165.0，166.0，167.0，168.0，168.0，169.0，170.0，170.0，171.0，171.0，172.0，172.0，172.0，173.0，174.0，175.0，175.0，176.0，176.0，177.0，177.0，178.0（单位： $c m$ ），则这24个数据的中位数、众数，以及预估该班男生的第30百分位数为（）

A、171、170、168.5 B、171、170、169 C、171.5、172、169 D、172、172、169

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4. 下列命题中，错误的是（）

A、平行于同一条直线的两条直线平行 B、已知直线 $m$ 垂直于平面 $α$ 内的任意一条直线，则直线 $m$ 垂直于平面 $α$ C、已知直线 $m / /$ 平面 $α$ ，直线 $n \subset α$ ，则直线 $m / / n$ D、已知 $m$ 为直线， $α$ 、 $β$ 为平面，若 $m / / α$ 且 $m ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$

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5. 经过科学的研究论证，人类的四种血型与基因类型的对应为： $O$ 型的基因类型为 $i i$ ， $A$ 型的基因类型为 $a i$ 或aa，B型的基因类型为 $b i$ 或 $b b$ ， AB型的基因类型为 $a b$ ，其中 $a$ 、 $b$ 是显性基因， $i$ 是隐性基因.若一对夫妻的血型一个 $A$ 型，基因类型为 $a a$ ，一个 $B$ 型，基因类型为 $b i$ .则他们的子女的血型为（）

A、O型或A型 B、A型或B型 C、B型或AB型 D、A型或AB型

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6. 在 $A B C$ 中，D是 $B C$ 的中点，E是AD的中点，若 $\vec{B E} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、1 B、 $\frac{3}{4}$ C、 $- \frac{3}{4}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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7. 在棱长为 $a$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $A A_{1}$ 的中点，则过B、 $C_{1}$ 、E三点的平面截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所得的截面面积为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{10}}{8} a^{2}$ B、 $\frac{9}{8} a^{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4} a^{2}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{2} a^{2}$

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8. 高一年级某同学为了丰富自己的课外活动，参加了学校“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的选拔，该同学能否成功进入这三个社团是相互独立.假设该同学能够进入“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的概率分别为 $a$ 、 $b$ 、 $\frac{1}{4}$ ，该同学可以进入两个社团的概率为 $\frac{1}{5}$ ，且三个社团都进不了的概率为 $\frac{3}{10}$ ，则 $a b =$ （）

A、 $\frac{3}{20}$ B、 $\frac{1}{10}$ C、 $\frac{1}{15}$ D、 $\frac{1}{5}$

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二、多选题

9. 下列叙述中，正确的是（）

A、某班有40名学生，若采用简单随机抽样从中抽取4人代表木班参加社区活动，那么学号为04的学生被抽到的可能性为40% B、某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，采用分层抽样的方法从该校四个年级的科生中抽取一个容量为500的样木进行调查.已知该校一、二、三、四年级木科生人数之比为 $8 ： 5 ： 4 ： k$ ，若从四年级中抽取75名学生，则 $k = 3$ C、四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，得到四组数据，若某组数据的平均数为2，方差为2.4，则这组数据一定没有出现6 D、一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4， $x$ ， 7，8（其中 $x \neq 7$ ），若该组数据的中位数是众数的 $\frac{5}{4}$ 倍，则该组数据的平均数是6

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10. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{6}) + c o s (2 x - \frac{π}{3}) + a$ 的最大值为1，则（）

A、 $a = - 1$ B、 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 是函数 $f (x)$ 的对称中心 C、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{2}]$ 上单调递减 D、 $f (x) \geq 0$ 成立的 $x$ 的集合为 $[k π ， k π + \frac{π}{3}] (k \in Z)$

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11. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 A D$ ， E是边AB的中点，将 $△ A D E$ 沿直线DE翻折成 $△ A_{1} D E$ （点 $A_{1}$ 不落在底面 $B C D E$ 内），连接 $A_{1} B$ 、 $A_{1} C$ .若 $M$ 为线段 $A_{1} C$ 的中点，则在 $△ A D E$ 的翻折过程中，以下结论正确的是（）

A、 $B M / /$ 平面 $A_{1} D E$ 恒成立 B、 $V_{三棱锥 A - A_{1} D E} ： V_{四棱锥 A_{1} - B C D E} = 1 ： 3$ C、存在某个位置，使 $D E ⊥ A_{1} C$ D、线段BM的长为定值

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12. 已知 $△ O A B$ 的顶点坐标为 $O (0 ， 0)$ 、 $A (2 ， 9)$ 、 $B (6 ， - 3)$ ，点 $P$ 的横坐标为14，且O、B、P三点共线，点 $Q$ 是边AB上一点，且 $\vec{O Q} \cdot \vec{A P} = 0$ ， $R$ 为线段 $O Q$ 上的一个动点，则（）

A、点 $P$ 的纵坐标为-5 B、向量 $\vec{O A}$ 在向量 $\vec{B P}$ 上的投影向量为 $- \frac{1}{4} \vec{B P}$ C、 $\vec{A B} = 2 \vec{A Q}$ D、 $\vec{Q R} \cdot \vec{R B}$ 的最大值为1

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三、填空题

13. 若复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 2 i$ ，则复数 $z =$ .

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14. 已知向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 3$ ， $| \vec{b} | = 4$ ， $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ .

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15. 古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，如图所示，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现.我们来重温这个伟大发现吧！记圆柱的体积和表面积分别为 $V_{1}$ 、 $S_{1}$ ，球的体积和表面积分别为 $V_{2}$ 、 $S_{2}$ ，则 $\frac{V_{1}}{V_{2}} \times \frac{S_{2}}{S_{1}} =$ .

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16. 随着经济发展，江门市居住环境进一步改善，市民休闲活动的公园越来越多，其中，最新打造的网红公园有儿童公园、湖连潮头中央公园、下沙公园.某个节假日，甲、乙、丙、丁四组家庭到这个网红公园打卡，通过访问和意向筛查，最后将这四组家庭的意向汇总如下：
公园
儿童公园
湖连潮头中央公园
下沙公园
有意向的家族组
甲、乙、丙
甲、乙、丁
乙、丙、丁
若每组家庭只能从已登记的选择意向中随机选取一项，且每个公园至多有两组家庭选择，则甲、乙两组家庭选择同一个公园打卡的概率为 .

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四、解答题

17. 夏天是用电的高峰期，为了既满足居民基本用电需求，又提高能源利用效率，某市统计局调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位： $K W \cdot h$ ），发现他们的用电量都在 $34 K W \cdot h$ 至 $474 K W \cdot h$ 之间，适当分组后，画出频率分布直方图如图所示.

(1)、求m的值；并求被调查用户中，用电量在 $[200 ， 350) (K W \cdot h)$ 的户数；

(2)、为了更合理地满足居民们基本用电需求，增强市民的环保意识，市政府计划采用阶梯定价，希望使75%的居民缴费在第一档，使90%的居民缴费在前两档，请给出居民缴费位于第二档月平均用电量标准的范围（单位： $K W \cdot h$ ）.

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18. 已知函数 $f (x) = c o s^{4} x - s i n^{4} x$ ， $g (x)$ 是由 $y = s i n x$ 横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标保持不变得到的函数，令 $h (x) = g (x) - f (x)$ .

(1)、求函数 $h (x)$ 的最小正周期及其对称轴方程；

(2)、当 $x \in [\frac{π}{4} ， π]$ 时， $\sqrt{2} h (x) \geq m^{2} + 3 m$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

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19. 如图，AB是圆O的直径， $P A$ 垂直圆 $O$ 所在的平面，C是圆O上的点.

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、设 $Q$ 为 $P A$ 的中点， $G$ 为 $△ A O C$ 的重心，求证：面 $O Q G / /$ 平面 $P B C$ .

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20. 已知关于 $x$ 的二次函数 $f (x) = m x^{2} - n x - 1$ ，令集合 $M = {1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ， $N = {- 1 ， 2 ， 4 ， 6 ， 8}$ ，若分别从集合 $M$ 、 $N$ 中随机抽取一个数m和n，构成数对 $(m ， n)$ .

(1)、列举数对 $(m ， n)$ 的样本空间；

(2)、记事件 $A$ 为“二次函数 $f (x)$ 的单调递增区间为 $[1 ， + \infty)$ ”，求事件A的概率；

(3)、记事件B为“关于 $x$ 的一元二次方程 $| f (x) | = 2$ 有4个零点”，求事件B的概率.

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21. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ， $∠ A D C = \frac{π}{2}$ ， $B C = 2$ .

(1)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求 $A C$ 的长；

(2)、若 $A D = \sqrt{3}$ ， $∠ A C B = ∠ A C D + \frac{π}{4}$ .求 $∠ A C D$ 的大小.

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22. 如图， $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是正方体，E、F分别为 $A B$ 、 $B C$ 上的点，且 $A E = B F$ .

(1)、当三棱推 $B_{1} - B E F$ 的体积最大时，求二面角 $B_{1} - E F - B$ 的正切值；

(2)、求异面直线 $A_{1} E$ 与 $B_{1} F$ 所成的角的取值范围.

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公园	儿童公园	湖连潮头中央公园	下沙公园
有意向的家族组	甲、乙、丙	甲、乙、丁	乙、丙、丁