安徽省合肥市六校联考2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-04-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 复数 $\frac{i}{2 + i}$ （ $i$ 为虚数单位）的虚部是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{5} i$ C、 $\frac{2}{5} i$ D、 $\frac{2}{5}$

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2. 以下说法正确的有个（）
①三角形的直观图是三角形 ②平行四边形的直观图是平行四边形③正方形的直观图是正方形 ④菱形的直观图是菱形

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (1 ， m)$ ， $\overset{⇀}{b} = (3 ， - 1)$ ，若 $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{b}$ ，则m=（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、3 D、-3

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4. 某学校共有老、中、青职工200人，其中有老年职工60人，中年职工人数与青年职工人数相等．现采用分层抽样的方法抽取部分职工进行调查，已知抽取的老年职工有12人，则抽取的青年职工应有（）

A、12人 B、14人 C、16人 D、20人

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5. 一人连续投掷硬币两次，事件“至少有一次为正面”的互斥事件是（　　）

A、至多有一次为正面 B、两次均为正面 C、只有一次为正面 D、两次均为反面

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6. 已知 $m$ ， $n$ 是不同的直线， $α$ ， $β$ 是不重合的平面，则下列命题中正确的是（）

A、若 $m / / α$ ， $m / / n$ ，则 $n / / α$ B、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ，则 $n ⊥ m$ C、若 $m ⊥ α$ ， $m / / β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $a ⊥ β$ ， $m \subset α$ ，则 $m ⊥ β$

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7. 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ( )

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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8. 在三角形 $A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 对应的边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $∠ A = 12 0^{0}$ ， $a = 2$ ， $b = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，则 $B$ ＝（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{5 π}{6}$ C、 $\frac{π}{6} 或 \frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{π}{6}$

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9. 体积为1的正方体的内切球的体积是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{4}{3} π$

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10. 在△ $A B C$ 中， $A D$ 为 $B C$ 边上的中线，E为 $A D$ 的中点，则 $\overset{⇀}{E B} =$ （）

A、 $\frac{3}{4} \overset{⇀}{A B} - \frac{1}{4} \overset{⇀}{A C}$ B、 $\frac{1}{4} \overset{⇀}{A B} - \frac{3}{4} \overset{⇀}{A C}$ C、 $\frac{3}{4} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{4} \overset{⇀}{A C}$ D、 $\frac{1}{4} \overset{⇀}{A B} + \frac{3}{4} \overset{⇀}{A C}$

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11. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $c < b c o s A$ ，则 $△ A B C$ 为（）

A、钝角三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、等边三角形

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12. 如图，在离地面高 $400 m$ 的热气球上，观测到山顶 $C$ 处的仰角为 $15^{\circ}$ ，山脚 $A$ 处的俯角为 $45^{\circ}$ ，已知 $∠ B A C = 60^{\circ}$ ，则山的高度 $B C$ 为（）

A、 $700 m$ B、 $640 m$ C、 $600 m$ D、 $560 m$

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二、填空题

13. 在装有4个红球和2个白球的盒子中，任意取一球，则事件“取出的球是白球”为事件（填“必然”、“随机”或“不可能”）.

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14. 已知向量 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ 为单位向量，若 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $| \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} | =$ ．

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15. 一个几何体的主视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的(填入所有可能的几何体前的编号)．
①三棱锥； ②四棱锥； ③三棱柱； ④四棱柱； ⑤圆锥； ⑥圆柱．

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16. $△ A B C$ 的三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $M$ 为 $A B$ 的中点， $b = 2$ ， $C M = \sqrt{3}$ ，且 $2 c c o s B = 2 a - b$ ，则 $S_{Δ A B C} =$ .

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三、解答题

17. 设向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 不共线．若 $\vec{A B} = 2 \vec{a} + p \vec{b}$ ， $\vec{B C} = \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{C D} = \vec{a} - 2 \vec{b}$ ．若 $A$ ， $B$ ， $D$ 三点共线，求实数 $p$ 的值．

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18. 当实数 $m$ 取什么值时，复平面内表示复数 $z = (m^{2} - 8 m + 15) + (m^{2} - 5 m) i$ 的点分别满足下列条件？

(1)、实数；

(2)、虚数；

(3)、位于第四象限．

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19. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $(a - c) (s i n A + s i n C) - s i n B (a - b) = 0$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $S_{△ A B C} = 2 \sqrt{3}$ ， $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 周长.

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20. 2020年的疫情让人刻骨铭心，2021年某地的疫情又出现了反弹，为切实维护广大人民群众生命安全和身体健康，扎实开展疫情防控工作，当地应对新冠肺炎疫情工作领导小组研究决定，除保障防疫工作、医疗服务、城市运行、值班执勤工作外，对全城车辆和行人采取严格的管控措施，某社区要进行全员核酸检测，由于工作量巨大，招募了 $100$ 名志愿者，记录了这些志愿者的年龄，统计结果如下表：
年龄
$[15 ， 25)$
$[25 ， 35)$
$[35 ， 45)$
$[45 ， 55)$
$[55 ， 65]$
志愿者人数
8
30
$a$
18
$b$
志愿者的年龄的频率分布直方图如图所示：

(1)、求 $a$ ， $b$ ，并利用所给的频率分布直方图估计所有志愿者的平均年龄（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；

(2)、若已从年龄在 $[25 ， 35)$ ， $[35 ， 45)$ 的志愿者中利用分层抽样选取了7人，再从这7人中选出2人，求这2人在同一年龄组的概率．

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21. 已知圆锥的底面半径为1，高为 $2 \sqrt{2}$ ，轴截面为平面 $P A B$ ，如图，从 $A$ 点拉一绳子绕圆锥侧面一周回到 $A$ 点，求最短绳长.

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22. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是菱形． $P B = P D$ ， $E$ 为 $P A$ 的中点．

(1)、求证： $P C$ ∥平面 $B D E$ ；

(2)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $B D E$ ．

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年龄	$[15 ， 25)$	$[25 ， 35)$	$[35 ， 45)$	$[45 ， 55)$	$[55 ， 65]$
志愿者人数	8	30	$a$	18	$b$