安徽省阜阳市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-04-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | 3 x - 7 > 0}$ ， $B = {x \in Z | (x - 1) (x - 6) < 0}$ ，则 $A ∩ B$ 中元素的个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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2. 设向量 $\vec{A B} = (a ， 2)$ ， $\vec{A C} = (- 1 ， 2 a + 1)$ ，则“ $a < 2$ ”是“ $\vec{A B} \cdot \vec{A C} < 6$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 某工厂共有980名工人，其中20到30岁的工人有400名，30到40岁的工人有300名，其余工人均在40岁以上.为了解该工厂的健康情况，按照20到30岁，30到40岁，40岁以上三个年龄段进行分层抽样，如果总样本量为196，那么应在40岁以上的工人中抽取（）

A、48名 B、52名 C、56名 D、60名

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4. 已知 $z$ 的共轭复数 $\vec{z} = 1 + 3 i$ ，则复数 $\frac{z}{1 - i} - i$ 的虚部为（）

A、 $i$ B、1 C、 $- 2 i$ D、-2

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5. 若 $\tan α = 3$ ， $\tan (π - β) = 4$ ，则 $\tan (α + β) =$ （）

A、 $- \frac{1}{13}$ B、 $\frac{1}{13}$ C、 $- \frac{7}{11}$ D、 $\frac{7}{11}$

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6. 下列函数在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增且存在零点的是（）

A、 $y = x^{2} - x - 3$ B、 $y = - 0 . 2^{x}$ C、 $y = s i n 2 x$ D、 $y = x - \frac{3}{x}$

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7. 某日下午，甲、乙两人要乘坐火车从合肥站到达阜阳站，他们都从下表中的四个车次中等可能性地选择一个，当日这四个车次都准时出发且准点到达，这四个车次的票都能买到，则甲、乙两人都能在当天18：10之前到达阜阳站的概率为（）

车次	发站/到站	发/到时间	运行时间
K892	合肥阜阳	14：2016：39	2小时19分
K8514	合肥阜阳	14：4917：10	2小时21分
K1396	合肥阜阳	15：2518：05	2小时40分
K8512	合肥阜阳	15：4318：12	2小时29分

A、

\frac{7}{16}

B、

\frac{1}{2}

C、

\frac{9}{16}

D、

\frac{3}{4}

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8. 北京大兴国际机场（如图所示）位于中国北京市大兴区和河北省廊坊市交界处，为 $4 F$ 级国际机场、世界级航空枢纽、如图，天安门在北京大兴国际机场的正北方向 $46 k m$ 处，北京首都国际机场在北京大兴国际机场北偏东16.28°方向上，在天安门北偏东47.43°的方向上，则北京大兴国际机场与北京首都国际机场的距离约为（）
（参考数据： $s i n 16.28 ° \approx 0.28$ ， $s i n 47.43 ° \approx 0.74$ ， $s i n 31.15 ° \approx 0.52$ ）

A、 $65.46 k m$ B、 $74.35 k m$ C、 $85.09 k m$ D、 $121.12 k m$

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9. 若 $a = l o g_{6} 10$ ， $b = 1 o g_{35} 100$ ， $c = l o g_{3} \sqrt{10}$ ，则（）

A、 $a > c > b$ B、 $b > c > a$ C、 $a > b > c$ D、 $b > a > c$

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10. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 为线段 $A_{1} D$ 上一点，当 $A P + P B$ 取得最小值时，直线 $B P$ 与平面 $A D D_{1} A_{1}$ 所成角的正切值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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11. 现有四个命题：
① $\exists x \in (0 ， 1)$ ， $x + t a n x = 2$ ；② $\forall x \in (\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ ， $t a n x + \frac{1}{t a n x - 1} \geq 4$ ；③函数 $f (x) = x c o s x + t a n x$ 的图象存在对称中心；④函数函数 $f (x) = t a n (2 x - \frac{π}{3})$ 的最小正周期为 $π$ ．其中真命题的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 在底面是正三角形的三棱锥 $P - A B C$ 中， $P B ⊥$ 底面 $A B C$ ，且 $A B = 3$ ， $P B = \frac{3}{2}$ ．以 $A$ 为球心的球 $A$ 的表面积为 $16 π$ ，则球 $A$ 的球面与三棱锥 $P - A B C$ 的表面的交线总长为（）

A、 $\frac{4 π}{3}$ B、 $\frac{5 π}{3}$ C、 $2 π$ D、 $\frac{7 π}{3}$

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二、填空题

13. 已知复数 $z$ 满足 $1 \leq | z | \leq 2$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点形成区域的面积为．

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14. 已知 $A$ ， $B$ ， $C$ 是三个不同的点， $α$ 是一个平面，现有如下四个命题：
① $A$ ， $B$ ， $C$ 三点确定一个平面；②若 $A \in α$ ， $B \notin α$ ，则直线 $A B$ 与 $α$ 相交；
③若 $A$ ， $B$ 到 $α$ 的距离均为1，则 $A B / / α$ ； ④若 $A B ⊥ α$ ， $B C / / α$ ，则 $A B ⊥ B C$ ．
其中所有真命题的序号是．

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15. 筒车是一种水利灌溉工具（如图1所示），筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为 $O$ ，筒车的半径为 $r$ ，筒车转动的周期为 $24 s$ ，如图2所示，盛水桶 $M$ 在 $P_{0}$ 处距水面的距离为 $h_{0}$ ． $4 s$ 后盛水桶 $M$ 在 $P_{1}$ 处距水面的距离为 $h_{1}$ ，若 $h_{1} - h_{0} = \frac{\sqrt{2}}{2} r$ ，则直线 $O P_{0}$ 与水面的夹角为．

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16. 已知直线 $y = t$ 与函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - l o g_{2} (- 3 x) ， x < 0 ， \\ l o g_{2} (12 x) ， x > 0 \end{array}$ 的图象交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $A$ ， $B$ 两点间距离最小值为，此时 $t =$

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三、解答题

17. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{C E} = \vec{E B}$ .

(1)、用 $\vec{A B}$ ， $\vec{A D}$ 表示 $\vec{D E}$ ；

(2)、若 $A B = 2$ ， $A D = 6$ ，且 $∠ B A D = 120 °$ ，求 $\vec{A C} \cdot \vec{D E}$ .

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18. 2020年某地苹果出现滞销现象，为了帮助当地果农度过销售难关，当地政府与全国一些企业采用团购的方式带动销售链，使得当地果农积压的许多苹果有了销路．为了解果农们苹果的销售量情况，当地农业局随机对100名果农的苹果销售量进行统计，将数据按照 $[90 ， 110)$ ， $(110 ， 130]$ ， $(130 ， 150]$ ， $(150 ， 170]$ 分成4组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、试估计这100名果农苹果销售量的平均数；

(2)、根据题中的频率分布直方图，估计销售量样本数据的80%分位数（结果精确到0.1）；

(3)、假设这100名果农在未打开销路之前都积压了2万千克的苹果，通过团购的方式果农每千克苹果的纯利润为1.3元，而积压仍未售出的苹果每千克将损失2元的成本费，试估计这100名果农积压的苹果通过此次团购活动获得的总利润．

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19. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．

(1)、写出余弦定理（只写出一个公式即可），并加以证明；

(2)、若锐角 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{15}$ ，且 $c s i n A = 2 a s i n B$ ， $b = 2$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = A B$ ， $E$ ， $M$ 分别为棱 $P B$ ， $C D$ 的中点， $F$ 为棱 $B C$ 上的动点．

(1)、证明： $E M / /$ 平面 $P A D$ ；

(2)、试问平面 $A E F$ 与平面 $P B C$ 是否垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ ( $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ )的部分图象如图所示.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) + \frac{\sqrt{3}}{3} f (x + \frac{π}{4})$ ，若在 $(0 ， m)$ 内存在唯一的 $x_{0}$ ，使得 $g (x) \geq g (x_{0})$ 对 $x \in R$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x}$ 与函数函数 $y = g (x)$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称，函数 $φ (x) = g (x + 1) + g (1 - x)$ 的定义域为为 $D$ ．

(1)、求 $φ (x)$ 的值域；

(2)、若存在 $x \in D$ ，使得 $m f (2 x) \geq 1 - f (x)$ 成立，求 $m$ 的取值范围；

(3)、已知函数 $y = h (x)$ 的图象关于点 $P (a ， b)$ 中心对称的充要条件是函数 $y = h (x + a) - b$ 为奇函数．利用上述结论，求函数 $y = \frac{1}{f (x) + e}$ 的对称中心．（直接写出结果，不需写出过程）

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