广西百色市2021-2022学年高一下学期数学期中模拟试卷

试卷更新日期：2022-04-26 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 在复平面内，复数 $\frac{5 i}{2 + i}$ 对应的点坐标为（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(1 ， - 2)$ C、 $(- 1 ， 2)$ D、 $(- 1 ， - 2)$

查看试题解析
2. 在△ABC中，若 $A = 6 0^{∘}$ ， $B C = 3 \sqrt{6}$ ， $A C = 6$ ，则角B的大小为（）

A、 $3 0^{∘}$ B、 $4 5^{∘}$ C、 $13 5^{∘}$ D、 $4 5^{∘}$ 或 $13 5^{∘}$

查看试题解析
3. 已知向量 $\vec{m} = (a^{2} ， - 1) ， \vec{n} = (2 ， 1 - a)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ，则实数a的值为（）

A、1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ 或-1 D、 $- \frac{1}{2}$ 或1

查看试题解析
4. 若△ABC外接圆圆心为 $O$ ，半径为4，且 $\overset{⇀}{O A} + 2 \overset{⇀}{A B} + 2 \overset{⇀}{A C} = \overset{⇀}{0} ，$ 则 $\overset{⇀}{C A} • \overset{⇀}{C B}$ 的值为（）

A、14 B、 $2 \sqrt{7}$ C、 $\sqrt{7}$ D、2

查看试题解析
5. 一个斜边长为 $\sqrt{2}$ 的等腰直角三角形绕直角边旋转一周形成的几何体的体积为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2} π}{3}$ D、π

查看试题解析
6. 如图，正方形 $O A B C$ 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 (1 + \sqrt{2})$

查看试题解析
7. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点，则点 $E$ 到平面 $B C_{1} D_{1}$ 的距离为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

查看试题解析
8. 《九章算术》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委菽依组内角，下周三丈，高七尺，问积及为菽几何？”其意思为：“靠墙壁堆放大豆成半圆锥形，大豆堆底面的弧长为3丈，高为7尺，问大豆堆体积和堆放的大豆有多少斛？”已知1斛大豆=243立方尺，1丈=10尺，圆周率约为3，估算出堆放的大豆有（）

A、140斛 B、142斛 C、144斛 D、146斛

查看试题解析

二、多选题

9. 在空间中，已知a，b，c是三条不同的直线， $α$ 是一平面，下列说法正确的是（）

A、若 $a / / b$ ， $b / / c$ ，则 $a / / c$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $b ⊥ c$ ，则 $a ⊥ c$ C、若 $a ⊥ α$ ， $b ⊥ α$ ，则 $a ∥ b$ D、若 $a / / α$ ， $b / / α$ ，则 $a ∥ b$

查看试题解析
10. 一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径 $2 R$ 相等，下列结论正确的是（）

A、圆柱的侧面积为 $4 π R^{2}$ B、圆锥的侧面积为 $2 π R^{2}$ C、圆柱的侧面积与球的表面积相等 D、球的体积是圆锥体积的两倍

查看试题解析
11. 下列式子中，一定正确的是（）

A、 $\vec{0} + \vec{a} = \vec{a}$ B、 $\vec{a} - \vec{a} = \vec{0}$ C、 $| \vec{a} + \vec{b} | \geq | \vec{a} - \vec{b} |$ D、 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$

查看试题解析
12. 下列命题正确的是（）

A、 $\vec{A B} - \vec{A C} = \vec{B C}$ B、相反向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，满足 ${\vec{a}}^{2} = {\vec{b}}^{2}$ C、向量 $\vec{e_{1}} = (- 1 ， 2)$ ， $\vec{e_{2}} = (5 ， 7)$ 能作为所在平面内的一组基底 D、对于向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，有 $| \vec{a} \cdot \vec{b} | \leq | \vec{a} | \cdot | \vec{b} |$ 不一定成立

查看试题解析

三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， 2)$ ，若 $(\vec{a} + λ \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $λ =$ .

查看试题解析
14. 已知锐角 $△ A B C$ 的面积为9， $A B = A C$ ，点D在边 $A C$ 上，且 $C D = 2 D A = \sqrt{10}$ ，则 $B D$ 的长为．

查看试题解析
15. 设 $a \in R$ ，复数 $z_{1} = 3 - 4 i$ ， $z_{2} = a + 2 i$ ，若 $\frac{z_{2}}{z_{1}}$ 是纯虚数，则 $a =$ ．

查看试题解析
16. 如图，在边长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P是该正方体对角线 $B D_{1}$ 上的动点，给出下列四个结论：
① $A C ⊥ B_{1} P$
② $△ A P C$ 面积的最大值是 $2 \sqrt{3}$
③ $△ A P C$ 面积的最小值是 $\sqrt{2}$
④当 $B P = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 时，平面 $A C P / /$ 平面 $A_{1} C_{1} D$
其中所有正确结论的序号是.

查看试题解析

四、解答题

17. 西昌市邛泸旅游风景区在邛海举行搜救演练，如图， $A$ ， $B$ 是邛海水面上位于东西方向相距 $3 + \sqrt{3}$ 公里的两个观测点，现位于 $A$ 点北偏东 $60 °$ 、 $B$ 点西北方向的 $D$ 点有一艘渔船发出求救信号，位于 $B$ 点南偏西 $75 °$ 且与 $B$ 点相距 $3 \sqrt{6}$ 公里的 $C$ 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30公里/小时。

求：

(1)、观测点 $B$ 与 $D$ 点处的渔船间的距离。

(2)、 $C$ 点的救援船到达 $D$ 点需要多长时间？

查看试题解析
18. 已知 $\vec{a} = (2 ， 4) ， \vec{b} = (- 3 ， 1)$

(1)、求 $\vec{a} - 3 \vec{b}$ ；

(2)、设 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为θ，求cosθ的值；

(3)、若向量 $\vec{a} + k \vec{b}$ 与 $\vec{a} - k \vec{b}$ 互相垂直，求k的值．

查看试题解析
19. 如图所示长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 2 A A_{1} = 2$ ， $M$ 是 $C C_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $A C_{1} / /$ 平面 $B D M$ ；

(2)、若 $P$ 是 $A C_{1}$ 的中点，求三棱锥 $P - B D M$ 的体积．

查看试题解析
20. 在△ABC中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $c c o s A + (a + 2 b) c o s C = 0$ .

(1)、求 $∠ C$ 的大小；

(2)、 $△ A B C$ 的面积等于 $4 \sqrt{3}$ ， D为BC边的中点，当中线AD长最短时，求AB边长.

查看试题解析
21. 在四面体ABCD中，过棱AB的上一点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H

(1)、求证：截面EFGH为平行四边形

(2)、若P、Q在线段BD、AC上， $\frac{D P}{B D} = \frac{A Q}{A C} = \frac{1}{4}$ ，且P、F不重合，证明：PQ∥截面EFGH

查看试题解析
22. 如图，在 $△ A B C$ 中，D是AC边上一点， $∠ A B C$ 为钝角， $∠ D B C = 90 °$ ．

(1)、证明： $c o s ∠ A D B + s i n C = 0$ ；

(2)、若 $A B = 2 \sqrt{7}$ ， $B C = 2$ ，再从下面①②中选取一个作为条件，求 $△ A B D$ 的面积．
① $s i n ∠ A B C = \frac{3 \sqrt{21}}{14}$ ； ② $A C = 3 A D$ ．
注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．

查看试题解析