安徽省合肥市庐江县柯坦乐桥片区2022年中考数学第一次模拟试卷

试卷更新日期：2022-04-26 类型：中考模拟

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一、单选题

1. － $\frac{1}{2}$ 的相反数是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、－2 C、－ $\frac{1}{2}$ D、2

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2. 2021年5月15日7时18分，天问一号探测器成功着陆火星，中国首次火星探测任务取得成功．“祝融号”火星车在距离地球约3.2亿千米的火星上进行巡视探测，3.2亿千米用科学记数法可表示为（）

A、0.32×10千米 B、3.2×10千米 C、0.32×10千米 D、3.2×10千米

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3. 如图所示，该几何体的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 一组数据2、3、5、x、7、4、6、9的唯一众数是5，则这组数据的中位数是（）

A、4 B、4.5 C、5 D、5.5

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5. 一个布袋里装有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球．从布袋里摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，则两次摸到的球都是红球的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{5}{9}$

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6. 下列计算正确的是（）

A、 $2 a + 3 a = 6 a$ B、 $(- 2 a)^{2} = 4 a^{2}$ C、 $- 2 (3 a + 1) = - 6 a - 1$ D、 $(a + 2) (a - 2) = a^{2} - 2$

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7. 如图，正五边形的两条对角线相交形成 $∠ 1$ ，则 $∠ 1$ 的度数为（）

A、60° B、64° C、72° D、75°

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8. 黄金分割数 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算 $\sqrt{5}$ ﹣1的值（）

A、在1.1和1.2之间 B、在1.2和1.3之间 C、在1.3和1.4之间 D、在1.4和1.5之间

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9. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， CD是斜边AB上的中线，若 $C D = 2.5$ ， $A C = 4$ ，则BC的长为（）

A、2.5 B、3 C、3.5 D、 $\sqrt{41}$

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10. 如图，过x轴正半轴上的任意一点P作y轴的平行线，分别与反比例函数 $y = \frac{3}{x} (x > 0)$ ， $y = - \frac{7}{x} (x > 0)$ 的图象交于A，B两点，若C是y轴上任意一点，连接AC、BC，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、10 B、 $\sqrt{10}$ C、5 D、 $\sqrt{5}$

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二、填空题

11. 分解因式： $4 - x^{4} =$ ．

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12. 如图，已知⊙O上有三点A、B、C，半径OC＝2，∠ABC＝30°，切线AP交OC延长线于点P，则△OAP的周长为

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13. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“美学”，如图， $\frac{B P}{A P} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，这个比值介于整数 $n$ 和 $n + 1$ 之间，则 $n$ 的值是．

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14. “两直线平行，内错角相等”的逆命题是．

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三、解答题

15. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 2 (x - 1) - 1 > - 5 \\ - x + 2 > 3 x + 4 \end{array}$ ．

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16. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．
（ 1 ）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A₁B₁C；平移△ABC，若点A的对应点A₂的坐标为（1，﹣4），画出平移后对应的△A₂B₂C₂；
（ 2 ）若将△A₁B₁C绕某一点旋转可以得到△A₂B₂C₂；请直接写出旋转中心的坐标；
（ 3 ）在x轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．

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17. 我国海域辽阔，渔业资源丰富，如图，现有渔船以18 $\sqrt{2}$ km/h的速度在海面上沿正东方向航行，当行至A处时，发现它的东南方向有一灯塔B，船续向东航行30min后达到C处，发现灯塔B在它的南偏东15°方向，求此时渔船与灯塔B的距离．

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18. 为了丰富学生社会实践活动，学校组织学生到红色文化基地 $A$ 和人工智能科技馆 $C$ 参观学习．如图，学校在点 $B$ 处， $A$ 位于学校的东北方向， $C$ 位于学校南偏东 $30 °$ 方向， $C$ 在 $A$ 的南偏西 $15 °$ 方向的 $(2 + 2 \sqrt{3}) k m$ 处．求学校 $B$ 和红色文化基地 $A$ 之间的距离．

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19. 如图是一种机器零件的左视大致图形，已测得 $∠ D = 30 °$ ， $∠ A = 75 °$ ， $B D ⊥ A C$ ， $C D = 16 c m$ ， $A B = 28 c m$ ， $A E = 25 c m$ ，求点E到直线CD之间距离EF的长．（结果精确到0.1，参考数据： $s i n 15 ° \approx 0.26$ ， $c o s 15 ° \approx 0.97$ ， $t a n 15 ° \approx 0.27$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

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20. 如图，四边形ABCD内接于⊙O， BD为直径，AC平分∠BCD，

(1)、若BC=5cm，CD=12cm，求AB的长；

(2)、求证：BC+CD= $\sqrt{2}$ AC．

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21. 邮票素有“国家名片”之称，方寸之间，包罗万象．为宣传2022年北京冬奥会，中国邮政发行了一套冬奥会邮票，其中有一组展现雪上运动的邮票，如图所示：
某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品．

(1)、在抢答环节中，若答对一题，可从4枚邮票中任意抽取1枚作为奖品，则恰好抽到“冬季两项”的概率是；

(2)、在抢答环节中，若答对两题，则可从4枚邮票中任意抽取2枚作为奖品，求恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率．

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22. 已知抛物线 $y = a x^{2} + 2 a x + a - 7 (a \neq 0)$ 经过点 $A (4 ， - 2)$ ，顶点为B．

(1)、求a的值及顶点B的坐标；

(2)、求直线AB的函数表达式；

(3)、若P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为 $m (- 1 \leq m \leq 4)$ ， $△ P A B$ 的面积为S，求S的最大值．

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23. 数学模型学习与应用．【学习】如图1， $∠ B A D = 90 °$ ， $A B = A D$ ， $B C ⊥ A C$ 于点C， $D E ⊥ A C$ 于点E．由 $∠ 1 + ∠ 2 = ∠ 2 + ∠ D = 90 °$ ，得∠1=∠D；又 $∠ A C B = ∠ A E D = 90 °$ ，可以通过推理得到 $△ A B C$ ≌ $△ D A E$ ．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型；

(1)、【应用】如图2，点B，P，D都在直线l上，并且 $∠ A B P = ∠ A P C = ∠ P D C = α$ ．若 $B P = x$ ， $A B = 2$ ， $B D = 5$ ，用含x的式子表示CD的长；

(2)、【拓展】在 $△ A B C$ 中，点D，E分别是边BC，AC上的点，连接AD，DE， $∠ B = ∠ A D E = ∠ C$ ， $A B = 5$ ， $B C = 6$ ．若 $△ C D E$ 为直角三角形，求CD的长；

(3)、如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为 $(2 ， 4)$ ，点B为平面内任一点． $△ A O B$ 是以OA为斜边的等腰直角三角形，试直接写出点B的坐标．

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