河北省邯郸市武安市2022年中考一模数学试题

试卷更新日期：2022-04-26 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 经过直线 l 外一点O的四条直线中，与直线l相交的直线至少有（）

A、1条 B、2条 C、3条 D、4条

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2. 下列运算结果正确的是（）

A、 $2 x + 3 y = 5 x y$ B、 $a t^{3} \div a^{3} = 0$ C、 $x - (3 y - 2) = x - 3 y - 2$ D、 $- 2 (x + y) = - 2 x - 2 y$

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3. 与 $\sqrt{7^{2} - 6^{2} - 2^{2}}$ 结果相同的是（）

A、 $7 - 6 + 2$ B、 $7 + 6 - 2$ C、 $7 + 6 + 2$ D、 $7 - 6 - 2$

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4. 某同学粗心大意，分解因式时，把等式 $a^{4} - ※ = (a^{2} + 9) (a + 3) (a - ●)$ 中的两个数弄污了，那么你认为式子中的 $※$ 和 $●$ 所对应的一组数是（）

A、9，3 B、81，3 C、81，9 D、27，3

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5. 将0.00000012用科学记数法表示为 $a \times 1 0^{n}$ ，则n的值为（）

A、 $- 8$ B、 $- 7$ C、7 D、8

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6. 一个正方体的六个面分别标有六个不同的点数，其展开图如下所示，则该正方体可能是（）.

A、 B、 C、 D、

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7. 如图1，矩形纸片 $A B C D$ 中， $A B = 5$ ， $A D = 12$ ，要在矩形纸片内折出一个菱形．现有两种方案：
甲：如图2，取两组对边中点的方法折出菱形 $E F G H$ ．
乙：如图3，沿矩形的对角线 $A C$ 折出 $∠ C A E = ∠ C A D$ ， $∠ A C F = ∠ A C B$ 的方法得到菱形 $A E C F$ ．下列说法正确的是（）

A、甲、乙折出的菱形面积一样大 B、乙折出的四边形不是菱形 C、甲折出的菱形面积大 D、乙折出的菱形面积大

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8. 如图，在正方形网格中，△ABC和△DEF相似，则关于位似中心与相似比叙述正确的是（）

A、位似中心是点B，相似比是2：1 B、位似中心是点D，相似比是2：1 C、位似中心在点G，H之间，相似比为2：1 D、位似中心在点G，H之间，相似比为1：2

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9. 若 $\sqrt[3]{5}$ 取1.71，计算 $4 \sqrt[3]{5} - 8 \sqrt[3]{5} + 104 \sqrt[3]{5} - 100$ 的结果是（）

A、71 B、171 C、1.71 D、17.1

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10. 如图，已知正六边形 $A B C D E F$ 的边长为1，分别以其对角线 $A D$ 、 $C E$ 为边作正方形，则两个阴影部分的面积差a-b的值为（）

A、0 B、2 C、1 D、 $\sqrt{3}$

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11. 如图，将数轴上－4与8两点间的线段六等分，五个等分点所对应的数依次为 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ ， $a_{5}$ ，则下列结论不正确的是（）

A、 $a_{3} > 0$ B、 $| a_{1} | = | a_{3} |$ C、 $a_{1} + a_{4} > 0$ D、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} = 0$

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12. 只把分式 $\frac{4 m - a}{5 n}$ 中的m，n同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，则此时a的值可以是下列中的（）

A、2 B、 $m n$ C、 $\frac{m}{3}$ D、 $m^{2}$

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13. 定理：三角形的内角和等于

180 °

．

已知： $△ A B C$ 的三个内角为 $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ ．

求证： $∠ A + ∠ B + ∠ C = 180 °$ ．

证法1

证法2

如图1，延长 $B C$ 到点D，则 $∠ A C D = ∠ A + ∠ B$ （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）．

∵ $∠ A C D + ∠ A C B = 180 °$ （平角的定义），

∴ $∠ A + ∠ B + ∠ A C B = 180 °$ （等量代换）．

如图2，过点 $C$ 作 $D E ∥ A B$ ， ∵ $D E ∥ A B$ ，

$∠ 1 = ∠ B$ （两直线平行，内错角相等），

$∠ 2 = ∠ A$ （两直线平行，内错角相等），

又∵ $∠ 1 + ∠ A C B + ∠ 2 = 180 °$ （平角定义），

∴ $∠ A + ∠ A C B + ∠ B = 180 °$ （等量代换）．

下列说法正确的是（）

A、证法1采用了从特殊到一般的方法证明了该定理 B、证法1用合理的推理证明了该定理 C、证法2还需证明其他形状的三角形，该定理的证明过程才完整 D、证法2用严谨的推理证明了该定理

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14. 小明得到数学课外兴趣小组成员的年龄情况统计如下表：
年龄（岁）
13
14
15
16
人数（人）
2
15
x
$10 - x$
那么对于不同x的值，则下列关于年龄的统计量不会发生变化的是（）

A、平均数、方差 B、中位数、方差 C、平均数、中位数 D、众数、中位数

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15. 定义：如果一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 满足 $a + b + c = 0$ ，那么就称这个方程为“凤凰方程”．已知 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 是“凤凰方程”，且有两个相等的实数根，则a与c的关系是（）

A、 $a + c = 0$ B、 $a = c$ C、 $a c = 1$ D、 $a c = - 1$

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16. 如图，已知 $△ A B C$ ，用尺规按照下面步骤操作：
①作线段 $A B$ 的垂直平分线 $D E$ ；②作线段 $B C$ 的垂直平分线 $F G$ ，交 $D E$ 于点O；③以O为圆心， $O B$ 长为半径作 $⊙ O$ ．
结论Ⅰ：点O是 $△ A B C$ 的内心．
结论Ⅱ： $\overset{⌢}{B G} = \overset{⌢}{A D}$ ．
对于结论Ⅰ和结论Ⅱ，下列判断正确的是（）

A、Ⅰ和Ⅱ都对 B、Ⅰ和Ⅱ都不对 C、Ⅰ不对Ⅱ对 D、Ⅰ对Ⅱ不对

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二、填空题

17. 嘉嘉同学动手剪了如图1所示的正方形与矩形纸片若干张．

(1)、他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图2）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是．

(2)、如果要拼成一个长为 $(a + 2 b)$ ，宽为 $(a + b)$ 的大长方形，则需要3号卡片张．

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18. 定义：在平面直角坐标系 $x O y$ 中，如果将点P绕点 $T (0 ， t) (t > 0)$ 旋转 $180 °$ 得到点Q，那么称线段 $P Q$ 为“拓展带”，点Q为点P的“拓展带”．

(1)、当 $t = 3$ 时，点 $(- 1 ， 1)$ 的“拓展带”坐标为．

(2)、如果 $t > 1$ ，当点 $M (2 ， 1)$ 的“拓展带”N在函数 $y = - \frac{6}{x}$ 的图象上时，t的值为．

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三、解答题

19. 有个补充运算符号的游戏：在“ $1 □ 2 □ (- 6) □ 9$ ”中的每个 $□$ 内，填入＋，﹣，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果．

(1)、计算： $1 + 2 - (- 6) - 9 =$ （直接写出结果）；

(2)、若 $1 \div 2 \times (- 6) □ 9 = 6$ ，请推算 $□$ 内的符号应是什么；

(3)、请在 $□$ 内填上×，÷中的一个，使计算更加简便，然后计算．
计算： $(1 \frac{3}{4} + \frac{7}{8} - \frac{7}{12}) □ (- \frac{7}{8})$ ．

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20. 已知某公司采购A，B两种不同洗手液共138瓶，设采购了A种洗手液x瓶．

(1)、嘉嘉说：“买到的B种洗手液的瓶数是A种的三倍．”琪琪由此列出方程： $x + 3 x = 138$ ，请用列出的方程判断嘉嘉的说法是否正确；

(2)、采购人员说：“B种洗手液比A种至少多32瓶．”请通过列不等式的方法说明A种洗手液最多有几瓶．

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21. 在一不透明的袋子中装有四张标有数字2，3，4，5的卡片，这些卡片除数字外其余均相同．嘉琪按照一定的规则抽出两张卡片，并把卡片上的数字相加．如图是他所画树状图的一部分．

(1)、①嘉琪第一次抽到标有数字为奇数的卡片的概率为．
②由图分析，该游戏规则是：第一次从袋子中随机抽出一张卡片后（选填“放回”或“不放回”），第二次随机再抽出一张卡片；

(2)、补全树状图，并求嘉琪两次抽到卡片上的数字之和为偶数的概率．

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22. 甲、乙两名同学沿直线进行登山，甲、乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶甲同学到达山顶休息 $1 h$ 后再沿原路下山，他们离山脚的距离 $S (k m)$ 随时间（h）变化的图象如图所示，根据图象中的有关信息回答下列问题：

(1)、甲同学上山过程中 $S_{甲}$ 与t的函数解析式为；点D的坐标为．

(2)、若甲同学下山时在点F处与乙同学相遇，此时点F与山顶的距离为 $0.75 k m$ ．
①求甲同学下山过程中S与t的函数解析式；
②相遇后甲、乙各自继续下山和上山，求当乙到达山顶时，甲与乙的距离是多少千米．

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23. 如图1，足球场上守门员李伟在O处抛出一高球，球从离地面 $1 m$ 处的点A飞出，其飞行的最大高度是 $4 m$ ，最高处距离飞出点的水平距离是 $6 m$ ，且飞行的路线是抛物线的一部分．以点O为坐标原点，竖直向上的方向为y轴的正方向，球飞行的水平方向为x轴的正方向建立坐标系，并把球看成一个点（参考数据：取 $4 \sqrt{3} \approx 7$ ， $2 \sqrt{6} \approx 5$ ）

(1)、求足球的飞行高度 $y (m)$ 与飞行水平距离 $x (m)$ 之间的函数关系式；

(2)、在没有队员干扰的情况下，球飞行的最远水平距离是多少？

(3)、若对方一名 $1.7 m$ 的队员在距落点 $C 3 m$ 的点H处，跃起 $0.3 m$ 进行拦截，则这名队员能拦到球吗？

(4)、如图2，在（2）的情况下，若球落地后又一次弹起，据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半，那么足球弹起后，会弹出多远？

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24. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A B C = 45 °$ ， $B C = 12 c m$ ，半圆O的直径 $D E = 12 c m$ ．点E与点C重合，半圆O以 $2 c m / s$ 的速度从左向右移动，在运动过程中，点D、E始终在 $B C$ 所在的直线上．设运动时间为 $x (s)$ ，半圆O与 $Δ A B C$ 的重叠部分的面积为 $S (c m^{2})$ ．

(1)、当 $x = 0$ 时，设点M是半圆O上一点，点N是线段 $A B$ 上一点，则 $M N$ 的最大值为； $M N$ 的最小值为．

(2)、在平移过程中，当点O与 $B C$ 的中点重合时，求半圆O与 $Δ A B C$ 重叠部分的面积S；

(3)、当x为何值时，半圆O与 $Δ A B C$ 的边所在的直线相切？

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25. 如图1，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $∠ A C B = 60 °$ ， $A C = 2$ ，点 $A_{1}$ ， $B_{1}$ 分别为边 $A C$ ， $B C$ 的中点，连接 $A_{1} B_{1}$ ，将 $△ A_{1} B_{1} C$ 绕点C逆时针旋转 $α (0 ° \leq α \leq 360 °)$ ．

(1)、如图1，当 $α = 0 °$ 时， $\frac{B B_{1}}{A A_{1}} =$ ， $B B_{1}$ ， $A A_{1}$ 所在直线相交所成的较小夹角的度数为．

(2)、将 $△ A_{1} B_{1} C$ 绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

(3)、当 $△ A_{1} B_{1} C$ 绕点C逆时针旋转过程中，
①请直接写出 $S_{△ A B A_{1}}$ 的最大值；
②当 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， B三点共线时，请直接写出线段 $B B_{1}$ 的长．

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26. 下图是某工人加工的一个机器零件（数据如图），经过测量不符合标准．标准要求是： $∠ E F D = 120 °$ ，且 $∠ A$ 、 $∠ B$ 、 $∠ C$ 保持不变为了达到标准，工人在保持 $∠ E$ 不变情况下，应将图中 $∠ D$ （填“增大”或“减小”）度．

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年龄（岁）	13	14	15	16
人数（人）	2	15	x	$10 - x$