安徽省合肥市庐阳区2022年一模数学试题

试卷更新日期：2022-04-26 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 2022的倒数是（）

A、－2022 B、2020 C、 $\frac{1}{2022}$ D、 $- \frac{1}{2022}$

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2. 计算 $x^{3} \cdot (- x^{2})$ 的结果是（）

A、 $- x^{6}$ B、 $- x^{5}$ C、 $x^{6}$ D、 $x^{5}$

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3. 国家卫健委每日都会公布全国31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗剂次.至2021年12月15日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗26.4亿剂次.其中26.4亿用科学记数法表示为（）

A、 $26.4 × 1 0^{8}$ B、 $2.64 × 1 0^{8}$ C、 $6.4 × 1 0^{9}$ D、 $2.64 × 1 0^{9}$

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4. 对于下列四个立体图形，其三视图中不含有三角形的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，将三角尺 $△ A B C$ 的直角顶点放在直线 $B D$ 上， $∠ A = 60 °$ ， $B D ∥ E F$ ，若直角被直线 $B D$ 平分，则 $∠ E F D$ 的度数是（）

A、 $75 °$ B、 $45 °$ C、 $105 °$ D、 $130 °$

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6. a，b是两个连续整数，若 $a < \sqrt{7} < b$ ，则a，b分别是（）

A、2，3 B、3，4 C、4，5 D、5，6

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7. 在平面直角坐标养中，若直线 $y = x + k$ 不经过第四象限，则关于x的方程 $k x^{2} + x - 1 = 0$ 的实数根的个数为（）

A、0 B、0或1个 C、2个 D、1或2个

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8. 如图，四边形 $A B C D$ 是菱形，边长为4， $∠ A = 60 °$ ，垂直于 $A D$ 的直线 $E F$ 从点A出发，沿AD方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线EF与菱形 $A B C D$ 的两边分别交于点E，F（点E在点F的上方），若 $△ A E F$ 的面积为y，直线 $E F$ 的运动时间为x秒（ $0 \leq x \leq 4$ ），则能大致反映y与x的函数关系的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 已知三个实数a、b、c，满足 $3 a + 2 b + c = 5$ ， $2 a + b - 3 c = 1$ ，且 $a \geq 0$ 、 $b \geq 0$ 、 $c \geq 0$ ，则 $3 a + b - 7 c$ 的最小值是（）

A、 $- \frac{1}{11}$ B、 $- \frac{5}{7}$ C、 $\frac{3}{7}$ D、 $\frac{7}{11}$

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10. 如图，是一“赵爽弦图”，它是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形，其直角三角形的两条直角边的长分别是3和5，连接 $B_{2} D_{2}$ ，并向两端延长，分别交 $A_{1} B_{1}$ 、 $C_{1} D_{1}$ 于点E、F，则 $E F$ 的长为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、4 C、 $\frac{3}{8} \sqrt{2}$ D、 $\frac{17}{4} \sqrt{2}$

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二、填空题

11. 计算： $\sqrt{\frac{1}{16}} - 2^{- 2} + {(π - 3)}^{0} =$ .

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12. 分解因式： $2 m^{2} - 18 =$ .

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13. 如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C，且点A的坐标为（-2，0），D为第一象限内 $⊙ O$ 上的一点，若 $∠ O C D = 75 °$ ，则 $A D =$ .

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14. 设抛物线 $y = x^{2} - (a + 1) x + 2 a + 3$ ，其中a为实数.

(1)、若抛物线经过点 $(2 ， m)$ ，则m=；

(2)、该抛物线的顶点随着a的变化而移动，当顶点移动到最高处时，则该抛物线的顶点坐标为.

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三、解答题

15. 解方程： $x^{2} - 6 x - 7 = 0$

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16. 在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点位置如图所示.

(1)、作出 $△ A B C$ 关于x轴对称的图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，若 $△ A B C$ 内部一点P的坐标为 $(a ， b)$ ，则点P的对应点 $P_{1}$ 的坐标是；

(2)、将 $△ A B C$ 绕原点逆时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，画出 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ .

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17. 如图，有一宽为 $A B$ 的旗子，小明在点D处测得点B的仰角为 $60 °$ ，随后小明沿坡度为 $i = 1 ： \sqrt{3}$ 的斜坡 $D E$ 走到点E处，又测得点A的仰角为 $45 °$ ．已知 $D C = 6$ 米， $D E = 4$ 米，求旗子的宽度 $A B$ ．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米.参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

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18. 观察以下等式：
第1个等式： $\frac{1}{1} + \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{2}$ ，
第2个等式： $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{12}$ ，
第3个等式： $\frac{1}{5} + \frac{1}{6} - \frac{1}{3} = \frac{1}{30}$ ，
第4个等式： $\frac{1}{7} + \frac{1}{8} - \frac{1}{4} = \frac{1}{56}$ ， ……
按照以上规律，解决下列问题：

(1)、写出第5个等式：；

(2)、写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明.

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19. 已知：正比例函数 $y = \frac{4}{3} x$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象都经过点 $A (m ， 4)$ .

(1)、求k，m的值；

(2)、第一象限内的点B在这个反比例函数的图象上，过点B作 $B C ∥ x$ 轴，交y轴于点C，且 $A C = A B$ ，求直线 $A B$ 的表达式.

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20. 如图，已知 $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $E F$ 过圆心O，且 $E F ⊥ A B$ ，垂足为点F，交 $A C$ 的延长线于点E，连接 $O B$ 、 $O C$ ．

(1)、若 $∠ A C B = 60 °$ ， $⊙ O$ 的半径长为6，求 $A B$ 的长；

(2)、求证： $∠ O C B = ∠ E$ ．

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21. 某校决定开展篮球、足球、乒乓球和羽毛球四种项目的活动课，为了解学生对四种项目的喜欢情况，随机调查了部分学生很喜欢的一种项目（每名学生必选且只能选择四种活动项目的一种），并将调查结构绘制成如下的不完整的统计图表：
学生最喜欢的活动项目的人数统计表
项目
学生数（名）
百分比
篮球
5
10%
足球
15
m%
乒乓球
n
40%
羽毛球
10
20%
根据图表中提供的信息，解答下列问题：

(1)、m= ， n=；

(2)、根据抽样调查结果，请你估计该校2000名学生中有多少名学生最喜欢乒乓球；

(3)、甲、乙两名同学在这四个活动项目中任选一个活动项目参加活动课，求甲乙同时选择乒乓球活动课的概率.

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22. 设抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3 a$ ，其中a、b为实数， $a < 0$ ，且经过（3，0）.

(1)、求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）；

(2)、若 $a = - 2$ ，当 $t - 2 ≤ x ≤ t$ 时，函数的最大值是6，求t的值；

(3)、点A坐标为（0，4），将点A向右平移3个单位长度，得到点B.若抛物线与线段 $A B$ 有两个公共点，求a的取值范围.

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23. 如图，等腰△ABC和等腰△DEC中，AB=AC=AD，DE=DC．

(1)、求证： $∠ B A E = ∠ D$ ；

(2)、如图，如果 $A B ⊥ A C$ ，求 $B E ： E C$ 的值（提示：先求 $∠ D$ 的度数）；

(3)、延长线段 $B A$ 交 $D C$ 于点F，如果 $△ A C F$ 是等腰三角形，且 $A B = A C = A D = 2$ ，求 $D C$ 的长．

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项目	学生数（名）	百分比
篮球	5	10%
足球	15	m%
乒乓球	n	40%
羽毛球	10	20%