陕西省学林大联考2022年中考自查数学试题

试卷更新日期：2022-04-26 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列各数中，不是无理数的是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $π$ D、 $\sqrt[3]{9}$

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2. 下列宣传图案中，既中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A、戴口罩讲卫生 B、少出门少聚集 C、有症状早就医 D、勤洗手勤通风

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3. 我国领土面积约为9600000平方千米，数据9600000用科学记数法表示应为（）

A、0.96×10⁷ B、9.6×10⁴ C、9.6×10⁶ D、960×10⁴

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4. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 30 °$ ， $∠ C = 40 °$ ，点 $D$ 在边 $A B$ 上，过点 $D$ 作DE//AC交 $B C$ 于点 $E$ ，则 $∠ A D E$ 的度数为（）

A、 $50 °$ B、 $60 °$ C、 $70 °$ D、 $80 °$

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5. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 的垂直平分线分别交 $A D$ 、 $A C$ 、 $B C$ 于点 $E$ 、 $O$ 、 $F$ ，若 $A B = 12$ ， $B C = 16$ ，则 $E F$ 的长为（）

A、8 B、15 C、16 D、24

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6. 已知直线 $l_{1}$ 经过点 $(- 1 ， - 4)$ ，直线 $l_{2}$ 经过点 $(- 1 ， 0)$ ，若 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 关于 $y$ 轴对称，则 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 与 $x$ 轴围成的三角形面积为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $∠ B A C = 30 °$ ，以 $A C$ 为斜边向外作 $R t △ A C D$ ， $E$ 、 $F$ 分别为 $A C$ 、 $A D$ 的中点，连接 $E F$ ，若 $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $A D = 2 \sqrt{2}$ ，则 $E F$ 的长为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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8. 已知二次函数 $y = - x^{2} - 4 x + 2 n - 4$ 的图象只经过三个象限，则 $n$ 的取值范围是（）

A、 $n \geq 0$ B、 $n \leq 2$ C、 $0 \leq n \leq 2$ D、 $0 < n \leq 2$

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二、填空题

9. 计算 $(- a^{2} b)^{3}$ 的结果是．

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10. 如图，正五边形 $A B C D E$ 内接于 $⊙ O$ ，若 $⊙ O$ 的半径为 $5$ ，则劣弧 $\overset{⌢}{A C}$ 的长为 $. ($ 结果保留 $π)$

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11. “数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，甲烷的化学式是 $C H_{4}$ ，乙烷的化学式是 $C_{2} H_{6}$ ，丙烷的化学式是 $C_{3} H_{8} \dots$ ，设碳原子的数目为为正整数n（n为正整数），则它们的化学式都可用式子来表示．

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12. 如图，点 $P$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上，连接 $O P$ ，作 $P A ⊥ x$ 轴于点 $A$ ， $P B$ 为 $△ O P A$ 的中线，若 $△ P A B$ 的面积为 $1.5$ ，则 $k$ 的值为．

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13. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 120 °$ ，对角线 $A C$ 、 $B D$ 交于点 $O$ ， $B D = 4$ ，点 $E$ 为 $O D$ 的中点，点 $F$ 为 $A B$ 上一点，且 $A F = 3 B F$ ，点 $P$ 为 $A C$ 上一动点，连接 $P E$ 、 $P F$ ，则 $P F - P E$ 的最大值为．

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三、解答题

14. 计算： $(\sqrt{5} - \sqrt{3})^{2} + (\sqrt{2} - 1)^{0} - (\frac{1}{3})^{- 2}$ ．

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15. 解不等式 $\frac{x}{3} < 1 - \frac{x - 3}{6}$ ，并在如图所示的数轴上表示出该不等式的解集．

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16. 先化简 $(m + 2 - \frac{5}{m - 2}) \div \frac{m - 3}{2 m - 4}$ ，然后选择一个合适的整数作为 $m$ 的值代入求值．

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17. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ，请用尺规作图法，在边 $A C$ 上求作一点 $D$ ，使得 $B D$ 将 $△ A B C$ 分为两个等腰三角形． $($ 保留作图痕迹，不写作法 $)$

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18. 如图， $A C$ 为▱ $A B C D$ 的对角线，点 $E$ 、 $F$ 在 $A C$ 上，且 $A E = C F$ ，求证： $D E = B F$ ．

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19. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解 $1$ 辆 $A$ 型汽车和 $1$ 辆 $B$ 型汽车的进价共计18万元；2辆 $A$ 型汽车和 $4$ 辆 $B$ 型汽车的进价共计56万元．求 $A$ 、 $B$ 两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？

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20. 2022北京冬奥会的主题口号是“一起向未来”，一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“一”、“起”、“向”、“未”、“来”的五个小球，除汉字不同之外，小球没有其他区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．

(1)、若从中任意摸出一个球，摸出的球上的汉字是“向”的概率为；

(2)、从中任意摸出一个球，不放回，再从剩下的小球中任意摸出一个球，请用画树状图或列表法，求摸出的两个球上的汉字恰能组成“一起”或“未来”的概率．

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21. 西安世园会标志性雕塑 $《$ 水龙 $》$ ，内部为钢结构，外包镜面不锈钢，既像一股水花，又似一条飞龙，既蕴含了上善若水的中国传统理念，又有巨龙腾飞的时代精神．小刚同学想利用所学知识测量该雕塑的高度AB，如图，他在距离B点48米的点C处水平放置了一个小平面镜，并沿着BC方向移动，当移动到点E处时，他刚好在小平面镜内看到雕塑的顶端A的像，此时，测得CE=2米，小刚眼晴与地面的距离DE=1.5米．已知点B、C、E在同一水平直线上，且AB⊥BE、DE⊥BE，求雕塑的高度AB．(小平面镜的大小忽略不计)

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22. 近日，俄乌军事冲突事件引起了全世界的关注，此次事件也让我们深切体会到，只有祖国强大了，人民群众才有安全感，才会被世界“温柔”以待为此，某校举行了“少年强则国强”演讲比赛．学校随机调查了参加比赛的20名学生，并将他们的比赛成绩统计如下 $($ 满分为10分 $)$ ：

(1)、这20名学生比赛成绩的众数是 ▲ 分，并补全条形统计图；

(2)、计算这20名学生比赛成绩的平均数；

(3)、若该校共有100名学生参加了这次演讲比赛，请估计得满分的共有多少名学生？

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23. 随着人民生活水平的提高，环境污染问题日趋严重，为了更好治理和净化河道，保护环境，河道综合治理指挥部决定购买10台污水处理设备．现有 $A$ 、 $B$ 两种型号的设备，其中 $A$ 型号设备的价格为12万元 $/$ 台，每月可处理污水220吨， $B$ 型号设备的价格为10万元 $/$ 台，每月可处理污水180吨，设购买 $A$ 型设备 $x$ 台， $A$ 、 $B$ 两种型号的设备每月总共能处理污水 $y$ 吨．

(1)、求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、由于受资金限制，河道综合治理指挥部决定购买污水处理设备的总资金不超过110万元，问每月最多能处理污水多少吨？

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24. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $⊙ O$ 的直径 $A D$ 与弦 $B C$ 相交于点 $E$ ， $B E = C E$ ，过点 $D$ 的切线交 $A C$ 的延长线于点 $F$ ．

(1)、求证：BC//DF；

(2)、若 $s i n ∠ B A D = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $A B = 4 \sqrt{5}$ ，求 $D F$ 的长．

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25. 如图，已知二次函数 $y = - \frac{2}{3} x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴和 $y$ 轴的正半轴分别交于点 $A (6 ， 0)$ 和点 $B$ ，直线 $y = - \frac{4}{3} x + 4$ 经过点 $B$ ，交 $x$ 轴于点 $C .$ 点 $D$ 是第一象限内二次函数图象上一动点， $D E ⊥ B C$ 于点 $E$ ， DF// $x$ 轴交直线 $B C$ 于点 $F$ ．

(1)、求点 $B$ 、点 $C$ 的坐标以及二次函数的表达式；

(2)、是否存在点 $D$ ，使得 $△ D E F$ 与 $△ B O C$ 全等？若存在，求出点 $D$ 的坐标，若不存在，请说明理由．

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26.

(1)、【问题探究】
如图1，在 $△ A B C$ 中， $B C = 8$ ，点 $D$ 为 $A B$ 上一点，且 $A D = 2 B D$ ， $D E ⊥ B C$ 于点 $E$ ，若 $△ A B C$ 的面积为24，求 $D E$ 的长．

(2)、【问题解决】
如图2，某小区有一块三角形空地 $A B C$ ，其中 $A B = A C = 50$ 米， $B C = 60$ 米，开发商计划在这片空地上进行绿化和修建运动场地，在 $B C$ 边上选一点 $D$ ， $A B$ 边上取一点 $E$ ，使得 $B E = \frac{5}{6} B D$ ，过点 $E$ 作EF// $B C$ 交 $A C$ 于点 $F$ ，连接 $D E$ ，在 $△ A E F$ 和 $△ B D E$ 区域内绿化，在四边形 $C D E F$ 区域内修建运动场地．若设 $B D$ 的长为 $x ($ 米 $)$ ，运动场地 $($ 四边形 $C D E F)$ 的面积为 $y ($ 平方米 $)$ ．
①求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

②运动场地 $($ 四边形 $C D E F)$ 的面积是否存在最大值？若存在，求出运动场地 $($ 四边形 $C D E F)$ 面积的最大值及取得最大值时 $B D$ 的长；若不存在，请说明理由．

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